지속적으로 완벽한 시장

유한 한 수의 국가 가진 표준 이산 시간 경제 에서, 완전한 시장 경제는 단순히 n 개의 독립적 자산을 가진 경제 일 뿐이다 (Ljunqvist와 Sargent 8 장). 내일 n 개 국가에 걸쳐 n 개의 독립 자산이 충분하기 때문 입니다.$n$$n$$n$

나는 지난 주 교수와 이야기를 나 asset는데, 그는 자산 가격 책정에 대해 생각할 때 연속 시간의 편의 중 하나는 연속 시간 경제 내에서 단순히 위험없는 채권과 위험한 자산으로 완전한 시장을 얻을 수 있다고 말했다. 경제에서 각 브라운 운동에 대해 독립적).

그는 우리가 이야기 한대로 그것을 설명했기 때문에 나는 그것을 대부분 이해한다고 생각하지만 누군가가 세부 사항을 적어 줄지 궁금해하고 있습니까?

나는 아마도 이번 주에 하루나 이틀을 보낼 것입니다 (미분 미적분학의 일부 속성에 달려 있습니다). 다른 사람이 질문에 대답하지 않으면 만족스럽게 대답 할 수 있기를 바랍니다.

나는 이와 같은 지속적인 시간 질문에 대답 해야하는 마지막 사람이지만, 다른 사람이 없다면 나는 그것을 줄 것이라고 생각합니다. (어둡게 기억되는 연속 재무에 대한 정정은 매우 환영합니다.)

필자는 항상 이것이 마틴 게일 표현 정리 의 결과로 가장 잘 해석된다는 인상을 받았다 . 먼저, 나는 약간의 표기법을 느슨하게 설정합니다. 확률 공간은 독립적 인 Wiener 프로세스 ( Z 1 t , … , Z n t )에 의해 생성됩니다 . 있으라 N + 1 의 값 자산 I 의 저작물 번째 t가 주어진다 S의 난의 t . 자산 i = 0 이 무위험 채권 d S 0 이라고 가정$n$$(Z_t^1,\ldots,Z_t^n)$$n+1$$i$$t$$S_t^i$$i=0$, 자산i=1,…,n은 각각 위험하며 해당Z i t 에 의해 구동됩니다: dS i t =μ i t dt+σ i t dZ i t 엄격히 양의 SDF 공정 있다고 가정m의t정규화m0=1,되도록m의$dS_t^0=r_tS_t^0dt$$i=1,\ldots,n$$Z_t^i$

$$dS_t^i=\mu_t^idt+\sigma_t^idZ_t^i$$ $m_t$$m_0=1$ 각 마틴 인 I (SDF의 기본적 정의)과 위치 (D)의 분 t = ν t D t + ψ t ⋅ 차원 Z를 t (I 사용 ⋅ 편리 할 것이다 내적 등).$m_tS_t^i$$i$ $$dm_t=\nu_t dt+\psi_t\cdot dZ_t$$ $\cdot$

$n+1$$\theta_t$$t$$A_t$$A_t=\theta_t\cdot S_t$$A_0$

$$dA_t=\theta_t\cdot dS_t$$ $T$$A_T$$Y$$T$$A_0=E_0[m_TY]$$t=0$$A_0$$t=T$$Y$ $\theta_t$$A_T=Y$

$d(m_tA_t)=\theta_t\cdot d(m_tS_t)$$m_tS_t$$m_tA_t$$A_T=Y\Longleftrightarrow m_TA_T=m_TY$

$$m_tA_t=E_t[m_TY]$$ $t\in[0,T]$$t=0$

$E_t[m_TY]$

$$E_t[m_TY]=E_0[m_TY]+\int_0^t \phi_s\cdot dZ_s$$ $\phi_s$$d(m_tA_t)=\phi_t\cdot dZ_t$ $$d(m_tA_t)=\sum_i (m_t\theta_t^i \sigma_t^i +A_t\psi_t^i)dZ_t^i$$ $m_t\theta_t^i\sigma_t^i +A_t\psi_t^i=\phi_t^i$$i=1,\ldots,n$$\theta_t^i$ $$\theta_t^i=\frac{\phi_t^i-A_t\psi_t^i}{m_t\sigma_t^i}$$ $\theta_t^0$$A_t=\theta_t\cdot S_t$

$A_t$$m_tA_t=E_t[m_TY]$$m_t$$dZ_t^i$$\theta_t$$dA_t$$dZ_t^i$$n$$n$

나는 이것을 오랫동안 게시하는 것을 의미했습니다. 나는 이것을 발견하고 통찰력을 추가 할 수 있다고 생각했습니다. 이 예는 Munk의 "금융 자산 가격 이론"에서 발췌 한 것입니다.

다음 그림을 고려하십시오. 완벽한 시장을 위해서는 얼마나 많은 자산이 필요합니까?

$N$$N$

(i) 불확실성이 한 번에 완전히 드러나지 않고 조금씩 밝혀지고 (ii) 자산에서 동적으로 거래 할 수 있습니다. 이 예에서는 0에서 1까지의 세 가지 경제 전환이있을 수 있습니다. 1주기 분석에서 우리는 3 개의 충분히 다른 자산이이 불확실성을 '스팬'하기에 충분하다는 것을 알고 있습니다. 시간 1에서 시간 2까지는 경제가 시간 1에 어떤 주에 있는지에 따라 경제의 두 개, 세 개 또는 하나의 가능한 전이가 있습니다. 우리는 두 기간 동안 완전히 다른 3 개의 자산에 접근 할 수 있다면 배당 프로세스를 생성 할 수 있습니다.

보다 일반적인 유한 상태 이산 시간 시장의 일반 다항식 트리 버전의 경우 트리의 각 노드에 대해 스패닝 수 를 해당 노드를 떠나는 하위 트리의 분기 수로 정의 할 수 있습니다. 트리의 노드에 대해 다음 기간 동안 선형 독립 거래 자산의 수가 스패닝 수와 같으면 시장이 완성됩니다.

이제, d- 차원 표준 브라운 운동에 의해 불확실성이 생성되는 연속 시간 모델의 경우, 논쟁은 복잡하지만, Munk는 이전 논의에 근거하여 약간의 통찰력을 제공합니다.

다음과 같은 관찰 결과는 매우 직관적입니다.

1. 순식간에 변화가있는 경우에는 의미와 차이 만 중요합니다.
2. $dz_i$$d+1$$dz_t$$dz_t$$dt$$\epsilon$$\sqrt{dt}$$1/2$$-\sqrt{dt}$$1/2$
3. 지속적인 거래를 통해 매 순간마다 외인성 충격에 대한 노출을 조정할 수 있습니다.

$d+1$$d+1$