n 차원의 예산 초평면

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모든 벡터의 집합을 가지고 하는 솔루션입니다 . 이 세트의 치수 가 임을 보여줍니다 . $x = (x_1, \cdots, x_n)$ $p_1x_1 + \cdots + p_nx_n = I > 0$ $n-1$

나는 어쨌든이 증거의 마지막 부분에 갇히게되었습니다. 이 세트가 초평면이고 초평면이 공간의 크기 라는 사실을 사용하지 않습니다 . $n-1$

는 선형 조합 이기 때문에 이 고려중인 세트에 걸쳐 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 그러나 은 의 선형 조합으로 표현할 수 있습니다 . $\{x_1, \cdots x_n\}$ $\sum p \cdot x$ $x_n$ $\{x_1 \cdots x_{n-1}\}$

x_{n} = \frac{I - (p_{1} x_{1} + \dots p_{n - 1} x_{n - 1})}{p_{n}}

$x_n = \frac{I - (p_1x_1 + \cdots p_{n-1}x_{n-1})}{p_n}$

따라서 범위에서 을 제거 하고 결과 집합은 여전히 범위에 있습니다. 이제 우리는 이 선형 적으로 독립적 보여 주려고 합니다. 즉, 이면 모든 입니다. 세트가 스패닝되고 선형으로 독립적 인 경우 이는 기본입니다. 이 것 때문에 벡터를, 그것은 차원이 될 것 우리는 할 것입니다. $x_n$ $\{x_1, \cdots n_{n-1}\}$ $p_1x_1 + \cdots p_{n-1}x_{n-1} = 0$ $p_i = 0$ $n-1$ $n-1$

따라서 이고 입니다. $p_1x_1 + \cdots + p_{n-1}x_{n-1} = I - p_nx_n$ $I > 0$

따라서 I 이고 경우가 있다고 가정 합니다. 나는이 증거를 끝내는 방법을 잘 모르겠습니다. 왜냐하면 내가 분명한 것을 놓치고 있다고 생각하기 때문에 슬프게 만듭니다. 도움을 주시면 감사하겠습니다. $I - p_nx_n = 0$ $I - p_nx_n \neq 0$

mathematical-economics linear-algebra

— 키츠 네 기병대
소스

1

나는 당신의 질문을 빨리 보았지만 아마도 순위-무효 성 이론의 증거가 당신이 찾고있는 주장을 가지고 있습니까?

— Matthew Gunn

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행렬 . 하자 에 고정 된 해결책 . 그렇다면 어떤 벡터에 대해 받는 속하는 영 공간 의 , 우리가 따라서 또한 해결책 (더 나아가 모든 해결책 은 이런 식으로 쓸 수 있습니다). 에 대한 해 집합의 차원은 의 null 공간의 차원입니다 . $A = \begin{bmatrix} p_1 & p_2 & \ldots & p_n \end{bmatrix}$ $\mathbf{x}^*$ $A \mathbf{x} = c$ $\mathbf{u}$ $A$ $A \mathbf{u} = 0$ $\mathbf{x} = \mathbf{x}^* + \mathbf{u}$ $\mathbf{x}$ $A\mathbf{x} = c$ $A$

에 의해 등급 무효 정리 상기 랭크 행렬의 더하여 무효 (차원의 영 공간 행렬의) 의 열의 수와 동일 : $A$ $A$ $A$

rank (A) + nullity (A) = n

$\operatorname{rank}(A) + \operatorname{nullity}(A) = n$

행렬 A는 순위 1이며 (모두 가 0이 아니라고 가정 ) nullity는 입니다. $p_i$ $n-1$

— 매튜 건
소스

예, 이것이 쉬운 방법이라고 생각합니다. 나는이 방법을 전에 사용한 적이 없으며 원하는 결과를 보여주기 위해 선형 조합을 사용하려고했습니다. 나는 이제 답을 얻었고 그것을 게시 할 것입니다 (그리고 3 시간 안에 당신의 답을 찬성 할 수있을 것입니다)

— Kitsune Cavalry

1

내가 시도한 증거의 끝을 위해 외부의 도움을 받았습니다. 우연히 다른 사람이 유용하다고 생각하면이 질문을 남길 것입니다.

따라서 를 표시하려면 일반성을 잃지 않고 이라고 가정하십시오 . 우리는 $p_1x_1 + \cdots + p_{n−1}x_{n−1} = 0 \implies p_i = 0 \quad \forall i$ $p_1 \neq 0$

x_{1} = (- \frac{p_{2}}{p_{1}}) x_{2} + \dots + (- \frac{p_{n - 1}}{p_{1}}) x_{n - 1}

$x_1 = \left(-\frac{p_2}{p_1}\right) x_2 + \cdots + \left(-\frac{p_{n-1}}{p_1}\right)x_{n-1}$

\begin{matrix} (1) & ⟹ x_{1} + (\frac{p_{2}}{p_{1}}) x_{2} + + \dots + (\frac{p_{n - 1}}{p_{1}}) x_{n - 1} = 0 \end{matrix}

$\implies x_1 + \left(\frac{p_2}{p_1}\right) x_2 + + \cdots + \left(\frac{p_{n-1}}{p_1}\right)x_{n-1} = 0 \tag1$

그런 다음 양쪽에서 을 뺍니다 . $p \cdot x = 0$

(x_{1} - p_{1} x_{1}) + (\frac{p_{2}}{p_{1}} x_{2} - p_{2} x_{2}) + \dots + (\frac{p_{n - 1}}{p_{1}} x_{n - 1} - p_{n - 1} x_{n - 1}) = 0

$(x_1 - p_1x_1) + \left(\frac{p_2}{p_1} x_2 - p_2 x_2\right) + \cdots + \left(\frac{p_{n-1}}{p_1} x_{n-1} - p_{n-1}x_{n-1} \right) = 0$

\begin{matrix} (2) & ⟹ (1 - p_{1}) x_{1} + (\frac{p_{2}}{p_{1}} - p_{2}) x_{2} + \dots + (\frac{p_{n - 1}}{p_{1}} - p_{n - 1}) x_{n - 1} = 0 \end{matrix}

$\implies (1 - p_1)x_1 + \left(\frac{p_2}{p_1} - p_2 \right)x_2 + \cdots + \left(\frac{p_{n-1}}{p_1} - p_{n-1} \right)x_{n-1} = 0 \tag2$

설정하십시오 . $(1) = (2)$

$\implies 1 - p_1 = 1 \implies p_1 = 0$

모순입니다.

— 키츠 네 기병대
소스