지속적인 절대 위험 회피와 상대 위험 회피는 초기 부의 독립을 암시한다는 것을 증명

절대 위험 회피의 Arrow-Pratt 측정 값이 일정하면 (즉, 절대 절대 위험 회피, CARA) 일정하는 경우 무위험 자산과 위험 자산이 하나 인 포트폴리오에 대해 증명할 수있었습니다. 위험한 자산은 에이전트의 부에 의존하지 않습니다. 마찬가지로, CRRA (상대적 위험 회피)를 통해 에이전트가 위험 자산에 투자 한 부의 비율도 에이전트의 부에 의존하지 않습니다.

이제 CARA 및 위험 자산의 경우 각 위험 자산에 투자 된 부의 양 이 에이전트의 초기 부와 무관하다는 더 일반적인 진술을 어떻게 증명할 수 있습니까? CRRA에 대한 유사한 진술뿐만 아니라?$N$$N$

나의 설명의 기초는 마스 콜렐의 Ch. 6.

특정 질문에 대한 최대화 문제는 매우 쉽게 일반화 될 수 있습니다. 위험 자산 하나와 위험 자산 하나가있는 경우를 고려하십시오. 안전한 자산에 투자 한 부로 하자 , 투자 된 달러당 1 달러로 정상화된다. 하자 어떤 임의의 성향이있는 위험 자산에 투자 부, 수 그러한를 :$\beta$$\alpha$$z$

$$\int z \ \text{d}F(z) > 1$$

따라서 평균 수익률은 위험이없는 자산보다 큽니다. 따라서 최대화 문제를 다음과 같이 표현합니다.

$$\max \ \int u(\alpha z + \beta) \ \text{d}F(z) \\ \text{s.t.} \quad\alpha + \beta = w$$

당신은 사실을 활용할 수 과 첫 번째 순서 조건을 찾을 수 있습니다. 가 오목한 경우 (위험 회피) Kuhn-Tucker FOC는 다음과 같이 결합합니다.$w - \alpha = \beta$ $\implies \alpha z + \beta = w + \alpha(z - 1)$$u$

$$\int u'(w + \alpha(z - 1))\cdot(z - 1) \ \text{d}F(z) = 0 \quad \text{iff} \quad \alpha \in (0, w)$$

따라서 일반적인 경우 위험 자산과 다른 위험이없는 자산보다 나은 위험이없는 자산 하나를 사용하여 동일한 설정을 수행 할 수 있습니다 . 다시 지불하여 1을 지불합시다.$N$

이제 최대화는 다음과 같습니다.

$$\max \int u(\alpha_1 z_1 + \cdots + \alpha_N z_N + \beta) \ \text{d}F(z_1, \cdots z_N) \\ \text{s.t.} \quad \alpha_1 + \dots + \alpha_N + \beta = w$$

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노트:

쉬운 사례를 이미 수행했다면이 일반적인 사례는 그렇게 나쁘지 않고 더 많은 작업이 필요합니다. 다른 독자들을 위해, 나는 절대 절대 및 상대 위험 회피의 정의를 각각 아래에 언급 할 것이다.

$$r_A(x) = -\frac{u''(x)}{u'(x)} = n \quad \forall x$$ $$r_R(x) = -\frac{x \cdot u''(x)}{u'(x)} = n \quad \forall x$$