최적 제어가 실패 할 때 (?)

"질문을하려면"먼저 모델을 풀어야합니다. 몇 가지 단계를 생략하지만 여전히이 게시물은 매우 길어질 것이므로이 커뮤니티가 이러한 종류의 질문을 좋아하는지 여부를 확인하는 테스트이기도합니다.

시작하기 전에, 이것이 연속적으로 표준 신고전주의 적 성장 모델처럼 보일 수도 있지만 , 그렇지 않습니다 : 그것은 한 개인과 관련이 있습니다. 그 개인은 주변 경제에서 다른 사람을 "대표하지"않습니다. 모델링되지 않았습니다. 여기서 프레임 워크는 "단일 개인의 최대화 문제에 대한 최적 제어의 적용"입니다. 이것은 Optimal Control 솔루션 프레임 워크 및 방법 자체에 관한 것입니다.

우리는 회사에서 자본을 소유하고있는 소규모 사업가의 간헐적 유틸리티 극대화 문제를 해결하고, 경쟁이 치열한 노동 시장에서 노동 서비스를 구매하고, 완벽하게 경쟁적인 상품 시장에서 그의 제품 (신선한 도넛)을 판매합니다. 우리는 불확실성없이 (사회 경제적 상황이 안정적 임), 무한한 수평선으로 (사업가가 그의 미래 사본을 연속적으로 구상) 연속 모델로 설정했습니다.

max_{c, ℓ, k} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} \ln c d t s.t. \dot{k} = f (k, ℓ) - w ℓ - δ k - c lim_{t \to \infty} e^{- ρ t} λ (t) k (t) = 0

$\max_{c,\ell,k}\int_0^{\infty}e^{-\rho t}\ln c\,\text{d}t\\ \text{s.t.}\;\; \dot k = f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c\\ \lim_{t\rightarrow \infty}e^{-\rho t}\lambda(t) k(t) = 0$

여기서 $c$ 는 사업가의 소비이고, $\ln c$ 는 소비로부터의 즉각적인 유용성, $\rho>0$ 은 순수한 시간 선호도, $k$ 는 회사의 자본, $\delta$ 는 자본 감가 상각률, $f(k,\ell)$ 비즈니스의 생산 기능입니다. 초기 자본금 수준은 $k_0$ 입니다. 사업에 대한 사업가 자신의 직업은 자본에 포함됩니다. 생산 기능은 표준 신고전주의 적이다 (규모에 대한 일정한 수익률, 양의 한계 제품, 음의 두 번째 부분,이나 다 조건). 제약 조건은 자본의 이동 법칙과 현재 가치 승수를 사용한 횡단 조건입니다.

현재 값 Hamiltonian 설정

\hat{H} = \ln c + λ [f (k, ℓ) - w ℓ - δ k - c]

$\hat H = \ln c +\lambda[f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c]$

우리는 1 차 조건을 계산합니다

\frac{\partial \hat{H}}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac{1}{c} = λ \Rightarrow \frac{\dot{c}}{c} = - \frac{\dot{λ}}{λ}

$\frac {\partial \hat H}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac 1c =\lambda \Rightarrow \frac {\dot c}{c} = -\frac {\dot \lambda}{\lambda}$

\frac{\partial \hat{H}}{\partial ℓ} = 0 \Rightarrow λ [f_{ℓ} - w] = 0 \Rightarrow f_{ℓ} = w

$\frac {\partial \hat H}{\partial \ell} = 0 \Rightarrow \lambda [f_{\ell} -w]=0 \Rightarrow f_{\ell} =w$

\frac{\partial \hat{H}}{\partial 케이} = ρ λ - \dot{λ} \Rightarrow λ [{에프}_{케이} - δ] = ρ λ - \dot{λ}

$\frac {\partial \hat H}{\partial k} = \rho\lambda - \dot \lambda \Rightarrow \lambda [f_{k} -\delta]=\rho\lambda - \dot \lambda$

그것들을 결합하여 우리는 사업가의 소비 진화 법칙을 얻습니다.

\begin{matrix} (1) & \dot{씨} = ({에프}_{케이} - δ - ρ) 씨 \end{matrix}

$\dot c = \big(f_k-\delta -\rho \big)c \tag{1}$

노동 수요에 대한 최적의 규칙 (정적)과 상수는 스케일에 영향을 미칩니다 ( ) . 이것을 우리가 얻는 자본의 운동 법칙에 삽입 $\ell: f_{\ell} =w$ $f = f_kk + f_{\ell}\ell$ $f-w\ell = f_kk$

\begin{matrix} (2) & \dot{케이} = {에프}_{케이} 케이 - δ 케이 - 씨 \end{matrix}

$\dot k = f_kk - \delta k - c \tag {2}$

식 과 는 미분 방정식 시스템을 형성합니다. 사업가의 소비와 자본에 대한 정상 상태 값은 $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (삼) & 씨^{※} = {에프}_{케이}^{※} {케이}^{※} - δ {케이}^{※}, {케이}^{※} : {에프}_{케이}^{※} = δ + ρ \end{matrix}

$c^* = f_k^*k^* - \delta k^*,\;\;\; k^*: f^*_k = \delta +\rho \tag{3}$

\begin{matrix} (3a) & \Rightarrow 씨^{※} = ρ {케이}^{※} \end{matrix}

$\Rightarrow c^* = \rho k^* \tag{3a}$

... 아주 친숙한 표현입니다.

$k^*$ 는 때때로 "수정 된 황금률"자본 수준이라고도합니다. 정상 상태 값에서 평가 된 시스템의 Jacobian은 모델 매개 변수의 값에 대해 음의 결정 인자 를 가지며 , 이는 시스템이 중철 경로 안정성을 나타 내기 위해 필요하고 충분한 조건입니다.

로커 스 의 최대 값은 (때때로 "황금률"자본 수준이라고 함)에 있습니다. $\dot k =0$ $\tilde k$

\begin{matrix} (4) & \tilde{k} : f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k} + f_{k} (\tilde{k}) - δ = 0 \Rightarrow f_{k} (\tilde{k}) = δ - f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k} \end{matrix}

$\tilde k : f_{kk}(\tilde k)\tilde k + f_k(\tilde k) - \delta = 0\Rightarrow f_k(\tilde k) = \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag{4}$

값은 기준 중요하다 : 여기서,은 자본의 수준 및 (A)에서 인 최대 (되지 최적 또는 정상 상태 ). $\tilde k$ $\dot k =0$ $c$

궤적이 정상 자본 레벨에서의 위상 다이어그램의 수평축 (그 대책 수도) 교차 . $\dot c=0$ $k^*$

경우 , 요구하는 부의 제 2 파셜로 인해, 우리는 "자본의 과잉 축적을"해야합니다 (너무 많은 도넛) : 사업가가 즐길 수 더되어 유지되는 낮은 수준의 자본으로 국가 소비. 우리는 과 사용하여 $k^* > \tilde k$ $f_k^* < f_k(\tilde k)$ $(3)$ $(4)$

f_{k}^{*} < f_{k} (\tilde{k}) \Rightarrow δ + ρ < δ - f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k}

$f_k^* < f_k(\tilde k) \Rightarrow \delta + \rho < \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k$

\begin{matrix} (5) & \Rightarrow ρ < - f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k} \end{matrix}

$\Rightarrow \rho < - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag {5}$

불평등 은 차선의 정상 상태 자본 수준의 조건이다. 문제는 배제 할 수 없다는 것 입니다. 단순히 사업가가 "충분히 환자"여야하며, 순 시간 선호도가 충분히 적지 만 여전히 긍정적이어야합니다. $(5)$

여기서 문제가 시작됩니다 . 대표 에이전트 모델에서 자본의 과잉 축적이 효과적으로 배제됩니다. 겹치는 세대 모델에서 가능하지만 거시 경제 수준에서 의도하지 않은 결과로 거시 경제가 미시 창립과 미시 세계와 다르게 행동 할 수있는 가장 빠른 예 중 하나입니다.

그러나 우리의 모델은 두 가지 범주에 속하지 않습니다. 그것은 내재적으로 이질적인 환경에서 단일 에이전트 의 부분 평형 모델입니다. 여기서 일반적인 평형은 결과를 변경하지 않습니다.이 사람은 자신 만 나타냅니다. 따라서 문제는 유지 한다면 Optimal Control 솔루션은 명백히 차선책이 될 것입니다. 여기에 우리는 한 사람, 하나의 의지, 하나의 마음을 가지고 있기 때문입니다. 이 방법은 쓸모가 없다. 만일 내가 그 조언을 따른다면 차선책으로 높은 수준의 자본을 얻게 될 것이다. " $(5)$

그리고 왜 "최적 제어가이 문제에 적합하지 않습니다. 다른 방법을 시도하십시오"라고 말하는 것에 만족 하지 않습니다. 왜 우리가 부적합하다고 생각 하는지 알 수 없기 때문 입니다. 그러나이 적합한 지, 그 방법은 뭔가 잘못 신호를해야한다, 그것은 어느 시점에서해야 필요로 하는 않습니다 하지 그렇게이 발생할 경우 해결책을 (제공 할 수있게하기 위해 개최 하지 않습니다 잡아라, 모든 것이 팽창 해 보인다). $(5)$ $(5)$

" 유지 되면 횡단 조건이 위반 될 수 있습니까?" -그러나 이므로 양의 상수로 가고 는 만 있으면 됩니다. $(5)$ $\lambda(t)k(t) = k(t)/c(t)$ $e^{-\rho t}$ $\rho>0$

내 질문 :

1) 누군가 여기에 통찰력을 줄 수 있습니까?

2) 누군가 동적 프로그래밍을 사용 하여이 문제를 해결하고 결과를보고하면 감사하겠습니다.

부 칙
보기의 수학적 관점에서,이 모델의 중요한 차이가있는 것을 최적화 된 자본의 운동 식의 법. 는 표준 모델에서와 같이 전체 출력 를 포함 하지 않고 자본 반환 만 포함합니다 . 그리고 이것은 "개인 비즈니스 극대화 문제"프레임 워크에서 예상되는 결과물에 대한 재산권을 분리했기 때문에 발생합니다. $(2)$ $f(k)$ $f_kk$

economic-growth optimal-control dynamic-programming

— 알레 코스 파파도풀로스
소스

"kdot = 0 로커스의 최대 값"이라고 말했을 때 무슨 의미인지 잘 모르겠습니다. 무엇에 관해서 최대? 또한 (4)를 계산할 때 완전히 차별화하지 않아야합니다 (2). 즉 k를 변경 한 후에도 kdot = 0이 여전히 충족되도록하는 데 필요한 c의 변화도 계산하지 않아야합니까?

— 유비쿼터스

자본과 관련하여 @Ubiquitious Maximum. 이것은 정확히 위상 다이어그램을 그리는 방법이지만 여기에 이러한 계산을 포함시킬 수는 없습니다. 두 번째 문제를 들어 : 의 설정에서 유래 에서 및 자본의 함수로서 소비 발현 ( 되지 정상 값에서 평가). 이 궤적의 모양을 얻기 위해 자본과 관련하여 차별화합니다.

(4)

$(4)$

\dot{k} = 0

$\dot k =0$

(2)

$(2)$

c = f_{k} k - δ k

$c = f_kk-\delta k$

— Alecos Papadopoulos가

나는 모든 것을 점검하지는 않았지만, 내가 보는 한 가지 문제는 (CRS 하에서) 노동 최적 조건이 자본 / 노동 비율을 결정할 것이며, 이는 결국 자본의 한계 생산량을 결정하므로 최적의 경로를 따라 일정하게 유지된다는 것이다. 이 모델은 외생 이자율의 표준 소비 절약 문제와 동일하므로 MPK-delta> rho 인 경우 상담원의 소비는 일정한 비율로 증가합니다 (즉, 정상 상태가 아님).

— ivansml

@ivansml. 기여해 주셔서 감사합니다. 그러나 솔루션은 라고 말하지 않습니다 . 정상 상태 는 , eq 인 지점에 있습니다. . 문제는이 정상 상태가 어느 수준의 자본에 해당하는지, 그리고 그것이 "황금 규칙"수준 보다 높거나 낮은 지에 관한 것이다 .

f_{k} - δ > ρ

$f_k -\delta >\rho$

f_{k} - δ = ρ

$f_k -\delta = \rho$

(3)

$(3)$

\tilde{k}

$\tilde k$

— Alecos Papadopoulos

이제야이 질문이 다소 오래되었다는 것을 알았습니다. 희망은 중요하지 않습니다. 주제로 돌아 가기 는 노동 FOC에 의해 결정되어야합니다. 정상 상태는이 값 이 와 같은 경우에만 , 즉 우연의 일치 (또는 일반적인 평형 고려)에 의해 존재합니다. 에이전트가 더 높으면 에이전트가 무기한으로 자본을 축적하고 소비가 증가하고, 더 낮아지면 자본을 빼앗아 소비가 감소합니다. 회사가 노동에 대해 최적화 하면 CRS 가정 인 "수익"함수 은 선형 이기 때문에 꾸준한 성장이 가능합니다.

f_{k}

$f_k$

f_{k}

$f_k$

ρ + δ

$\rho+\delta$

f (k, ℓ) - w ℓ

$f(k,\ell) - w \ell$

k

$k$

— ivansml

답변:

문제는 정상 상태가 존재하지 않을 수 있으며 시스템은 매개 변수에 따라 꾸준히 성장한다는 것입니다.

그 이유는이 모델이 외생적이고 일정한 이자율을 가진 표준 소비 절약 문제와 동등하기 때문입니다. 이를 확인하려면 먼저 노동 선택 의 1 차 조건을 고려하십시오 (여기서, 는 wrt. th 인수 의 부분 미분입니다 ). 일정한 수익의 정의를 사용하면 한계 노동 은 $f_2(k,\ell) = w$ $f_i$ $f$ $i$ 은 자본-노동 비율의 함수입니다. 임금이 일정하면 노동 FOC는 임금및 기타 매개 변수의 함수로최적비율을고유하게 결정합니다. 자본의 한계 생산물

\frac{\partial}{\partial ℓ} f (k, ℓ) = \frac{\partial}{\partial ℓ} [f (\frac{k}{ℓ}, 1) ℓ] = f_{1} (\frac{k}{ℓ}, 1) \frac{- k}{ℓ} + f (\frac{k}{ℓ}, 1)

$\frac{\partial }{\partial \ell} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial \ell} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \frac{-k}{\ell} + f \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$

k / ℓ

$k/\ell$

w

$w$

또한

에 의존하며, 최적 경로를 따라 일정하게 유지됩니다. 한계 제품의 값을 넣어야

하고, 감가 상각의 반환 순 나타내는

. 자본과 소비의 역학에 대한 방정식 (1)-(2)는

\frac{\partial}{\partial k} f (k, ℓ) = \frac{\partial}{\partial k} [f (\frac{k}{ℓ}, 1) ℓ] = f_{1} (\frac{k}{ℓ}, 1)

$\frac{\partial }{\partial k} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial k} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$

k / ℓ

$k/\ell$

r^{*}

$r^*$

r = r^{*} - δ

$r = r^* - \delta$

이고 횡적 조건을 만족하는 특정 솔루션은

주어진

이어야합니다. 즉, 일정한 순간 부의 일부가 매 순간 소비됩니다. 자본과 소비는 모두 금리

로 증가하므로 자본 수익률 (여기서는 외생 임금률

에 의존)이 시간 선호 율과 같지않으면 정상 상태가 아닙니다.

\begin{aligned} {\dot{씨}}_{티} & = (아르 자형 - ρ) 씨_{티} \\ {\dot{케이}}_{티} & = 아르 자형 {케이}_{티} - 씨_{티} \end{aligned}

$\begin{split} \dot c_t &= (r - \rho) c_t \\ \dot k_t &= r k_t - c_t \end{split}$

c_{t} = ρ k_{t}

$c_t = \rho k_t$

k_{0}

$k_0$

(r - ρ)

$(r-\rho)$

w

$w$

— 이반 스 ml
소스

(+1) 감사합니다. 나는 이것을 지금 내 대답으로 받아들이고 있습니다.

— Alecos Papadopoulos

좋은 대답입니다. 기본적으로 노동이 최적으로 선택되면 수익 기능은 자본 적으로 선형이되어이 모델은 AK 모델로 귀결됩니다.

— 명목상 강함

@nominallyrigid 그러나 임금 이 일정하게 유지 된다고 가정하는 경우에만 . 이것은 일반적인 평형이 아니라 경제의 바다에서 작은 개인 수영을 기억하십시오.

— Alecos Papadopoulos

나는 사용자 @ivansml 답변을 계속하기 때문에 이것을 답변으로 게시하고 있습니다 ... 여기에서 캐치를 식별 한 캐치, 내가 순진하게 간과 한 캐치 (좁은 경우이지만 흥미로운 파가 뒤 따릅니다. 그럼에도 불구하고, 그것은 다루어야했다).

실제로, 외생 임금률과 노동 수요에 대한 완벽한 경쟁 최적화를 통해 자본의 한계 생산량은 모델의 매개 변수와 임금 비율에 의해서만 결정됩니다. 임금률이 일정하다고 가정하는 간단한 경우 @ivansml의 분석은 다음과 같이 해석합니다. 모델은 내생 적 성장 중 하나가됩니다 . 자본의 한계 생산물은 일정합니다. 수준의 상태 .

나타내는 및 , 방정식 과 영업의 기록 될 수있다 $\hat c = \dot c/c$ $\hat k = \dot k /k$ $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (1b) & \hat{c} = f_{k} - δ - ρ \end{matrix}

$\hat c = f_k-\delta -\rho \tag{1b}$

\begin{matrix} (2b) & \hat{k} = f_{k} - δ - c / k \end{matrix}

$\hat k = f_k - \delta - c/k \tag{2b}$

가 일정 하기 때문에 소비 증가율은 모수와 임금에 따라 0, 양 또는 음으로 일정합니다. 반면 에 시간과 관련하여 미분 $f_k$ $(2b)$

\dot{\hat{k}} = (\hat{k} - \hat{c}) \cdot (c / k)

$\dot {\hat k} = (\hat k - \hat c)\cdot (c/k)$

그리고 정상 상태의 성장을 위해, 우리가 원하는 것은 명백하다 에서, 경우에만 얻어 . 이므로 횡적 조건이 유지하는 유일한 방법은 소비와 자본이 같은 비율로 증가하거나 감소하는 경우 (또는 일정하게 유지되는) 것임을 쉽게 확인할 수 있습니다. $\hat k = \hat c$ $(2b)$ $c = \rho k$ $\lambda(t) = c(t)$

우리가 전체 경제를 조사하는 적절한 내생 적 성장 모델에서, 우리 는 모델의 매개 변수가 실제 성장에서 관찰되는 것이기 때문에 긍정적 성장률이 있다고 가정 합니다. 그러나 여기에는 개인이 하나뿐입니다. 그렇다면 사업가에게 무엇을 말하고 있습니까?

만약 , 성장 속도가 긍정적이며, 자신의 소비와 자본 모두 일정한 비율을 유지, "영원히"성장한다. 만약 , 성장 속도가 제로, 양쪽 가변 체류 영원히 상수. 경우 , 성장 속도는 음수이며, 우리는 (항상 유지 관계 감소 소비 자본 악순환에 입력한다 ). $f_k-\delta -\rho >0$
$f_k-\delta -\rho =0$
$f_k-\delta -\rho <0$ $c= \rho k$

이것은 최적의 통제 적용의 적합성을 입증하는 직관력을 가지고 있습니다. 다른 매개 변수와 임금이 주어지면, " 환자 "(큰 가 클수록 개인이 소비 수준이 감소 할 가능성이 높아집니다. 미래와 투자는 그다지 좋아하지 않습니다. 물론, 단조로운 하향 나선은 솔루션처럼 현실적으로 들리지 않을 수도 있지만, 이것은 매우 형식화 된 모델이며, 본질적으로 고도로 공식적인 수학적 언어로 일반적인 경향을 제공합니다. $\rho$

정말 흥미로운 부분은 경우에 시작됩니다 우리가 변수 임금을 고려 . 이것은 우리의 작은 사업가와 그의 소비 투자 결정에 대한 모든 종류의 흥미롭고 복잡한 역학을 만들 수 있습니다.

— 알레 코스 파파도풀로스
소스

$w$ $w$ $k$ $k$

— 죠 티모 로이
소스

나는 골재에 영향을 미치기에는 너무 작은 단일 회사를 엄격히보고 있습니다. 따라서 두 번째 의견은 "방정식 (2) 이전의 치환이 유효하지 않습니다"라고 말하는 것이 적절합니다. 왜 그런지 모르겠습니다. 그 점을 정중하게 설명해 주시겠습니까? 감사합니다.

— Alecos Papadopoulos가

w = f_{l}

$w=f_l$

r = f_{k}

$r=f_k$

k

$k$

\dot{k}

$\dot k$

k

$k$

@JyotirmoyBhattacharya는 경쟁 시장을 가정 한 표준 결과입니다.

— FooBar

k

$k$

l

$l$

w = f_{l}

$w=f_l$

r = f_{k}

$r=f_k$

l

$l$

k

$k$

좋아, 나는 결국 해밀턴 인을 작성하고 이것을 더 길게 만들어야 할 것이다.

— Alecos Papadopoulos