확률 적 프로세스 구성 이해

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나는 다음과 같은 방법으로 확률 적 프로세스가 모델링 / 구성되는 것을 보았다.

확률 공간 고려 및하자 제 (측정) 변환 할 우리가 샘플 점의 진화 모델로 사용 시간이 지남에. 또한 랜덤 벡터 합니다. 그리고, 확률 프로세스 $(\Omega, \mathcal F, Pr)$ $\mathbb S$ $\mathbb S: \Omega \rightarrow \Omega$ $\omega$ $X$ $X: \Omega \rightarrow \mathbb R^n$ $\{ X_t: t=0,1,...\}$ 화학식 통해 관측의 시퀀스를 모델링하는데 사용되는 또는 $X_t(\omega) = X[\mathbb S^t(\omega)]$ $X_t = X \circ \mathbb S^t.$

이 구성에서 샘플 포인트 및 변환 를 어떻게 이해해야 합니까? ( 는 어떤 경우에는 일련의 충격과 같은 것일 수 있습니까?) $\omega \in \Omega$ $\mathbb S$ $\omega$

좀 더 구체적으로,이 두 프로세스를이 표기법으로 어떻게 작성합니까?

프로세스 1 : 여기서 입니다.

\begin{matrix} (1) & X_{t + 1} = ρ X_{t} + ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \rho X_t + \varepsilon_{t+1} \tag{1}$

X_{0} = 0

$X_0 = 0$

공정 2 :

\begin{matrix} (2) & X_{t + 1} = ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \varepsilon_{t+1} \tag{2}$

— 젬 베라
소스

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당신이 묘사하는이 구성은 완전히 일반적인 것이 아닙니다. 실제로 그것은 고정 된 시계열을 특징으로합니다. 변하지 않는 것을 알 수 있습니다. 이 연산자 는 본질적으로 시프트 연산자입니다. $S$

비교를 위해 다음은 이산 시간 프로세스에 대한 일반적인 정의입니다.

정의 확률 적 프로세스가 시퀀스 인 확률 보렐 공간 맵 측정 . $\{ X_t \}$ $( \Omega, \mathcal{F}, \mu )$

이제 당신이 묘사 한 것에 대해 고정 된 Borel 측정 가능 맵 있습니다. 에 따라 진화하는 기본 측정입니다 . 지도의 에 새로운 "푸시 앞으로 측정"(측정 이론적 용어로)를 유도 단지 프리 이미지를 복용하여 : 측정을 정의 하여 $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ $S$ $S$ $\Omega$ $\mu_S$

A \in F \overset{μ_{S}}{\mapsto} P r (S^{- 1} (A)) .

$A \in \mathcal{F} \stackrel{\mu_S}{\mapsto} Pr(S^{-1}(A)).$

따라서 랜덤 벡터 은 구성 상 입니다. 그들은 에 대해 동일한 푸시 포워드 측정을 유도합니다 . 이 작업을 수행 각각 당신은 당신의 시계열을 가지고있다. $X: ( \Omega, \mathcal{F}, \mu_S) \rightarrow \mathbb{R}^n$ $X \circ S$ $\mathbb{R}^n$ $S^t$ $t$

에 대한 질문에 대해서는 이 명확해야 다른 방향에 대한 증거를 검사, --- 즉 어떤 엄격하게 고정 시간이 시리즈는 반드시 어떤이 양식 취해야합니다 , , 및 . $\omega$ $( \Omega, \mathcal{F}, Pr)$ $X$ $S$

기본적인 관점은, 일반적 관점에서 확률 론적 과정은 가능한 실현의 세트에 대한 확률 측정이라는 것이다. 예를 들어, Wiener의 Brownian 운동 구성에서 볼 수 있습니다. 그 확률의 측정 값을 생성 . 따라서 일반적으로 는 샘플 경로이며 은 가능한 모든 샘플 경로로 구성됩니다. $C[0, \infty)$ $\omega$ $\Omega$

예를 들어 위에서 지정한 두 가지 프로세스를 수행하십시오. 혁신이 가우시안이라고 말하면 엄격하게 고정되어 있습니다. (가우시안 혁신에 의해 구동 상관 공분산 - 정상 시계열 엄격하게 고정된다.) 구성은 다음 복용 시작할 것이다 모든 시퀀스들의 집합으로 -algebra 맵 좌표에 의해 발생 된, 그리고 적절한 조치. 화이트 노이즈 프로세스 (2)의 경우 은 무한한 제품에 대한 제품 측정치입니다. $\Omega$ $\mathcal{F}$ $\sigma$ $Pr$ $Pr$

참고 : 고정 정지 시계열의 이동에 의한 이러한 특성화 / 구성 은 계량 경제학을위한 화이트의 점근 론 ( White Asymptotic Theory)에 언급되어있다 .

— 남자 이름
소스

답변과 참조 주셔서 감사합니다. 또한 느리게 회신해서 죄송합니다. 이것은 말이됩니다. 또한 언급 (White 's book)에 따르면이 구성으로 인해 고정식 프로세스가 허용되지 않는 것 같습니다. 방어력 3.27 변환 정의

보존 측정 될 경우,

모두

. 그리고 발의안 3.29는

가 측정 보존이면 공정은 정지 상태 라고 말합니다 .

S

$\mathbb S$

P r (A) = P (S^{- 1} (A))

$Pr(A) = P(\mathbb S^{-1}(A))$

A \in F

$A \in \mathcal F$

S

$\mathbb S$

— jmbejara

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@jmbejara 네, 좋은 지적입니다. 실제로

을 정식 경로 공간 (

)으로 선택하고 무한한 결과물 인

를 변화로 정의 하면 시계열 법이 그러한 형태로 실현 될 수 있습니다.

Ω

$\Omega$

Π R

$\Pi \mathbb{R}$

S

$S$

— Michael

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충격 시퀀스와 같이 치수 차원 공간에서 사례를 고려하는 것이 가능 하지만, 그러한 해석은 비생산적이기 때문에 필터링 된 확률 공간에 대한 프로세스의 직접 지정과 비교할 때 단순화를 얻지 못하기 때문에 문제를 복잡하게 만드는 원치 않는 추가 엔티티. $\omega$

이 방법은 유한 차원 공간의 점에 적용하기에 훨씬 적합합니다. 그런 다음이 접근 방식을 사용하면 시간이 균일 한 Markov 프로세스를 구성하고 는 프로세스 의 현재 위치 또는 여러 마지막 위치의 상태 공간에있는 지점으로 해석됩니다. S의 해석에 대한 고려 사항은 예제가 논의 될 때까지 연기되어야한다. $\omega$

따라서 나는 가 질문에 정의 된 확률 공간에 대한 무작위 변수의 iid 시퀀스 라고 가정합니다 . 그런 다음 두 번째 프로세스는 다음과 같이 정의 할 수 있습니다. $\epsilon_t$

여기서 상위 색인은 여기에서 연산자의 다중 적용을 나타냅니다. $\omega \in R,$ $S(\omega) = \omega,$ $X(S^t(\omega)) = S^t(\omega).$

첫 번째 예는 첫 번째 예에 대한 설명입니다.

여기서 낮은 지수는 여기서 해당 벡터의 각 성분을 나타냅니다. $\omega \in R^2,$ $S((\omega_1,\omega_2)) = (\rho \cdot \omega_1 + \omega_2,\omega_2),$ $X(S^t(\omega)) = (S^t(\omega))_1.$

우리가 본 바와 같이, 오퍼레이션 S 자체는 합리적으로 해석하기가 모호하고 어렵다. 그러나 주목할 점은 변환을 유지하는 측정 값을 정의하고 그 아래에서 이미지를 찍으면 동일한 측정 값으로 세트를 생성한다는 것입니다. 따라서이 기능은 상태 공간의 시간에 대한 측정 역학입니다.

— 니키타 토로 포프
소스

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$\mathbb{S}$ $\omega$ $X(\omega)$ $\omega$ $\mathbb{S}$ $X$ $\{X_t\}_{t=0}^\infty$

— 팻 W.
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