Brouwer의 고정 소수점 정리를 사용하여 완전히 혼합 된 전략으로 평형 (a)이 존재 함을 증명하십시오.

어떻게 Brouwer의 고정 소수점 정리를 사용하여 다음 게임 F에 해답이 있음을 증명할 수 있습니까?

F는 다음과 같이 정의된다. N = {L, R} Ai = (g, 1-g) 여기서 g는 양수이어야하고 1보다 작아야한다. 즉, 각 플레이어는 완전히 혼합 된 전략을 수행하며,

\ begin {array} {| c | c | c |} \ hline & amp; LU & LD \\\ hline RU & 0,0 & 6,3 \\\ hline RD & 3,6 & 0,0 \\\ hline \ end {배열}

나는 연극이 콤팩트 세트에 속하지 않기 때문에 게임에 대한 해결책이 존재한다는 것을 증명하기 위해 그러한 정리를 사용할 수 없다는 결론에 도달했습니다. 누구든지 그것을 사용할 수 있습니까?

자신의 문제를 해결하는 즐거움을 빼앗기보다는 Brouwer의 정리를 사용하여 어떻게 $ f : \ mathbb {R} \에서 \ mathbb {R} $ 함수로 $$ f (x) = \ frac {33 + x} {16 + x ^ 4} $$ 범위가 작지는 않지만 고정 소수점을가집니다.

$ f (1) = 2 $ 및 $ f (2) = 35 / 32 $에 유의하십시오. $ f $는 $ [1,2] $ 이상으로 단조 감소하기 때문에 $ f ([1,2]) \ subset [1,2] $를 의미합니다. 또한 $ [1,2] $는 작고 $ f $는이 집합에 대해 연속적입니다. 그래서 $ f : [1,2] \ ~ [1,2] $는 Brouwer의 고정 소수점 정리에 의해 고정 된 점을 가질 것입니다.

비슷한 트릭이 게임 이론과 일반 평형 이론에 사용됩니다. 일부 플레이어에 의한 최적의 결정이 어떤 경계선 밖에있을 수 없다는 것을 보여줌으로써 고정 소수점 정리가 적용될 수있는 좁은 공간을 자주 만들 수 있습니다.

그냥 일반적으로 그것을 추가하고 싶었, 당신은 어떤 유한 두 선수 게임이 보유하고 표시 할 수 있습니다. 온라인에서 쉽게 찾을 수 있으므로이 증거를 반복하지 않겠습니다. 이 하나 ). 다른 고정 소수점 정리로이 결과를 증명할 수도 있습니다. 가장 주목할만한 사례는 아마도 카쿠 타니 (Kakutani)의 고정 점 정리 (fixed point theorem) 일 것이다. 여기서 NE의 존재는 일치하는 것으로 증명된다. 푸젠 베르크와 티롤 ).

당신이 더 많은 것을보고 있는지 알고 싶을지도 모른다고 생각했습니다!