Cobb-Douglas 생산 기능이 왜 그렇게 인기가 있습니까?

상대적으로 초보적인 정량 분석가 / 비용 분석가로서, Ive는 주어진 조직의 생산성 수준을 두 번 이상 예측 한 후 다음 몇 기간 동안 예측하도록 요청 받았습니다. 내가 일하는 곳은 푸드 뱅크 기부금 분배 및 자원 봉사 권유에 전념하는 비교적 작은 비영리 단체 (약 30 명)이므로 회사 규모가 이와 관련이 있는지 확실하지 않습니다.

대부분의 경우 백분율 변경이나 탄력성이 아닌 특정 단위를 요구 받았으므로 두 가지 생산 기능 중 하나를 제시해야합니다.

1. $$f(x_1,...,x_n)=\Sigma_{i=1}^n\beta_i x_i$$
2. $$f(x_1,...,x_n)=\gamma \min(x_1,...,x_n)$$

그러나 경제 문헌을 읽을 때 콥 더글라스 (또는 돌 게리와 같은 일부 변형)가 항상 사용되는 것을 볼 수 있습니다.

나는 그것이 단일 생산 요소에 대한 수적으로 감소하는 수익을 수학적으로 보여주는 특성을 가지고 있음을 알고 있지만, 나는 내 작업 라인에서 그것을 보는데 어려움이 있습니다. 실제 상품 제조 전용 생산 기능입니까?

Cobb Douglas 생산 기능이 널리 사용되는 이유는 통계적으로 엄격한 ¹ 을 유지하면서 다음 가정이 충족된다는 사실에서 비롯됩니다 .

콥-더글러스 생산 기능 양식을 상기하십시오.

$$F(K,AL)=K^{\alpha}(AL)^{1-\alpha}$$

여기서 (즉, 자본으로가는 생산량의 비율)$0<\alpha <1$

$1)$ 긍정적 한계 제품 :

$${\partial{F(K,AL)}\over{\partial K}}>0 \space , \space\space{\partial{F(K,AL)}\over{\partial (AL)}}>0$$

$2)$ 한계 제품 감소 (이미 언급 한대로)

$${\partial^2{F(K,AL)}\over{\partial K^2}}<0 \space , \space\space{\partial^2{F(K,AL)}\over{\partial (AL)^2}}<0$$

$3)$ 일정한 규모로 돌아 가기 (이것은 대부분의 생산 프로세스가 작동하는 방식입니다)

$$F(\lambda K, \lambda AL)= \lambda F(K, AL)$$

임의의 (예 : "이중 입력 이중 출력")$\lambda \ge 0$$\Rightarrow$

도움이 되었기를 바랍니다!!

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_{¹ 출처 : https://en.wikipedia.org/wiki/Cobb%E2%80%93Douglas_production_function}

귀하의 질문에 힌트를 주실 때 CD 제작 기능의 인기 뒤에 숨겨진 근본적인 이유는 수학적으로 편리합니다. 합계 가 "확장으로 복귀"를 훌륭하고 직관적으로 표현 한다는 사실 은 매우 편리합니다.$\alpha + \beta$

수학 금융에서 지수 또는 전력 유틸리티를 사용하는 것과 비슷한 것으로 생각합니다. 비현실적? 어쩌면, 그러나 함께 일하는 것이 더 친절합니다.

좋아, 나는 마지막 대답에서 당신의 함수에 혼란 스러웠 기 때문에 많은 암시 적 가정을했다고 생각합니다. 그래서 이번에는 좀 더 명확 해 지려고 노력합니다. 나는 당신의 첫 번째 기능만을 고려할 것입니다.

이제 이것이 생산 함수 인 경우 는 입력이며 하나의 출력 만 있습니다. 이제 프로덕션 함수에는 및 있습니다. 이것은 입력이 서로 완전히 독립적이라는 것을 의미합니다. 또는 만으로 동일한 출력에 도달 할 수 있습니다 . 투입물이 자본과 노동이라면 (적어도 생산 과정의 어느 곳에서나 사람이 필요하지 않은 완전 자동화 된 생산을 할 때까지는) 의미가 없습니다. 실제 세계에서 둘 중 하나가 0이면 출력이 없습니다.$x_i$$\frac{df}{dx_i}=\beta_i$$\frac{df}{dx_jdx_i}=0$$x_1$$x_2$

이러한 고려 사항으로 인해 모델의 생산 방식이 이미 자본과 노동이 혼합되어 있음을 의미합니다. 이 경우 이러한 다른 생산 방법을 최적화하고 최상의 방법을 선택하면됩니다. 대 비용 비율 이 가장 높은 것 . 회사 수준에서는 한계 비용이 일정 할 가능성이 높습니다.$x_1$$\beta_i$

이것은 회사 관점에서 볼 때 합리적인 모델입니다. 이러한 생산 방법 중 하나만 선택할 수 있으므로 Capital과 Labor을 함께 뭉친 사실은 걱정하지 않습니다. 고정 비용으로 기능을 최적화하고 최상의 생산 방법을 선택하십시오. (추정 된) 단순화는 생산 방법 내에서 확장 또는 생산이 한계 비용을 어떻게 변화시키는 지 고려하지 않는다는 것입니다.

(확장이 경제적 규모라면 노동자를 더 고용하여 임금을 올릴 수 있으며, 이로 인해 어느 시점에서보다 자본이 많은 생산 방법을 선택하게 될 것입니다)

경제학자들은 다른 각도에서이 문제에 접근합니다. 그들은 특정한 생산 방법이 아니라 자본 / 노동자 비율에 관심이 있습니다. 그들은 자본과 노동을 입력으로 받아들이고 그 입력에 대해 가장 좋은 생산 방법을 선택하고 출력을 반환하는 함수를 원합니다. 그들의 규모는,이 규모에는 너무나 많은 다른 생산 방법이 있으며, 당신은 그것들을 솔질하고 기본적으로 자본과 노동에서 지속적인 기능을 얻을 수 있다고 가정합니다.

Cobb-Douglas 함수가 제공하는 속성을 가진 모델을 원합니다 .$\frac{df}{dx_jdx_i}>0$

기본적으로 파티클 시뮬레이션과 유체 시뮬레이션을 비교합니다. 단일 물 분자를 모델링하는 방정식은 물 스트림을 모델링하는 것과 다릅니다. 그리고 다른 것과 관련이없는 것처럼 보일 수 있습니다.

내가 생각한 다른 가능성은이 함수가 실제로 출력 을 생성하는 비용 함수 이지만 정의에 의해 고정 한계 비용 가 있다는 것입니다. 다시 말하지만, 거시적 수준이 아닌 마이크로 수준에서 만드는 것이 합리적인 가정입니다.X $(x_1, ...,x_n)$$x_i$

Cobb-Douglas 생산 기능은 입력 수요 (및 출력 공급) 기능을 명시 적으로 계산할 수있는 매우 적은 기능 중 하나이기 때문에 매우 인기가 있습니다. Cobb-Douglas 생산 기능은 일차 조건 시스템을 해결할 수 있기 때문에 일반적으로 학사 수준 (강의, 시험 및 연습)에서 사용됩니다. 그러나이 기능적 형태는 매우 제한적이며 그 유효성은 경험적으로 거부됩니다. 따라서 마스터 레벨에서 우리는 생산 함수에 대해 제한되지 않은 형태를 사용하여 미시 경제 이론을 다시 언급하고 (예 : Mas Colell et al. 교과서 참조) 암시 적 함수 정리 또는 비교 정적 결과 도출을 위해 이중성 이론을 사용합니다.