다 변수 유틸리티 기능

고등학교 경제학 / 수학 학제 간 에세이를 위해 Lagrange multipliers를 사용하여 최대 값을 구하는 공식을 도출 할 것입니다. 어떤 사람은 3 개의 변수를 가진 (유틸리티) 함수를 제안 할 수 있습니까 (상수가 있는지는 중요하지 않습니다). 미리 감사드립니다!

상품 x 1 , x 2 , … , x k 가 있다고 가정 해 봅시다 . 하자 X 나타내고 벡터 X = [ X 1 ... X (K) ] .$k$$x_1, x_2, \ldots, x_k$$\mathbf{x}$$\mathbf{x} = \begin{bmatrix}x_1 \\ \ldots \\ x_k \end{bmatrix}$

시작하는 데 도움이되는 몇 가지 일반적인 작업 :

• $u(\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^k x_i^{\lambda_i}$
  • $\max_\mathbf{x} u(\mathbf{x})$$\max_\mathbf{x} \log u(\mathbf{x})$$u(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^k \lambda_i \log x_i$
• 일정한 치환 탄성 $u(\mathbf{x}) = \left( \sum_i \alpha_i ^\frac{1}{s} x_i ^\frac{s - 1}{s}\right)^\frac{s}{s-1}$

시작하기 위해 경제학에는 세 가지 주요 유형의 유틸리티 기능 / 생산 기능이 있습니다. 다중 변수의 경우 아래에 설명하겠습니다.

보완 대체

$$U(\mathbf{X})=\min\{x_i,...,x_n\}$$ $$U(\mathbf{X)}=\sum_{i=1}^{n}a_1x_i$$

여기서 는 0보다 큰 상수입니다 (일반 상품의 경우).$a_i$

Cobb-douglas (Matthew Gunn이 이미 말했듯이).

$$u(\mathbf{X}) = \prod_i^n x_i^{\lambda_i}$$

여기서 각 는 0보다 큽니다 (일반 상품의 경우).$\lambda_i$

도움이 되었기를 바랍니다.

"유틸리티"라는 단어는 질문의 본문에 괄호로 묶여 있으므로 원하는 것이 유틸리티 최대화 문제만을 원한다는 것을 확신하지 못합니다. 어쨌든, 여기 유틸리티에 관한 것이 아닌 최적화 문제가 있습니다.

회사가 입력 및 사용하여 출력 를 생성한다고 가정합니다 . 사용 된 기술은 오목한 생산 함수 됩니다. (예를 들어 회사가 비용을 최소화하고자.), 즉, 입력 된 가격으로 주어진다 및 가 생성하고자 싸게 가능한 유닛.$y$$x_1$$x_2$$f(x_1,x_2)$$\sqrt{x_1x_2}$$w_1$$w_2$$y$

최적화 문제는 솔루션이 인 내부 솔루션이라고 가정하면 생산 함수 조건의 라그랑주 승수는 다소 경제적 인 의미를 갖습니다. 생산의 한계 비용입니다.

$$\begin{align*} \min_{x_1,x_2} \ & w_1x_1 + w_2x_2 \\ \\ \mbox{s.t. } & f(x_1,x_2) = y \\ \\ & x_1,x_2 \geq 0. \end{align*}$$ $x_1^*, x_2^* > 0$

세 개 이상의 변수를 요구하는 경우 입력 수를 쉽게 조정할 수 있습니다 예 : .$f(x_1,x_2,x_3) = \sqrt[4]{x_1x_2x_3}$