연속적인 상품으로 경제에서 최적의 소비자

각 포인트마다 상품이 하나 인 연속 상품이있는 경제를 고려하십시오 . $[0,1]$

소비자가 를 최대화하려고한다고 가정합니다 대상

U = \int_{0}^{1} c_{i}^{θ} d i 0 < θ < 1

$U = \int_0^1 c_i^\theta\,di\qquad 0<\theta<1$

여기서,

는소비 된

번째 상품의 가격,

가격 및

은 소비자의 돈 소득입니다.

\int_{0}^{1} p_{i} c_{i} d i = M

$\int_0^1 p_i c_i\,di = M$

c_{i}

$c_i$

i

$i$

p_{i}

$p_i$

M

$M$

이러한 종류의 문제는 예를 들어 Dixit-Stiglitz 모델을 거시 경제 또는 국제 무역에 적용 할 때 발생합니다.

이 문제에 대한 해결책은 아마도 여기서는 예산 제약 조건이 충족되도록하기 위해 선택된 상수입니다.

c_{i} = A p_{i}^{\frac{1}{θ - 1}}

$c_i = Ap_i^{1 \over {\theta-1}}$

A

$A$

유한 수량의 상품의 경우와 유사하게 라그랑주 승수를 사용하는이 결과의 도출에 대해서는 매우 만족하지 않습니다. 위의 결과를 도출하는 완전히 수학적으로 엄격한 방법은 무엇입니까?

$c_i$ $i$

$n$ $n \to \infty$

@AlecosPapadopoulos 님의 질문에 답변 경제학 과정을 위해 수학으로 가르치는 Langrange multiplier 방법의 증거는 일반적으로 유한 한 수의 선택 변수에 대한 것입니다. 연속체 선택 변수에 대해 방법이 정당화되는 위치에 대한 참조를 부탁드립니다. 또한, 위에서 언급 한 비 독특 성은 그 방법이 정확히 맞을 수 없다는 것을 보여줍니다. 그렇다면 타당성에 필요한 자격은 정확히 무엇입니까?

microeconomics mathematical-economics

— 죠 티모 로이
소스

나는 OP에 동의합니다. 공간이 무한 치수가되면 많은 것이 잘못 될 수 있습니다. 나에게 최적의 한계가 한계의 최적이라는 것은 분명하지 않습니다.

— FooBar

답변:

이 엄밀한 미적분 문제에 대한 오일러 라그랑 지 방정식을 작성하는 것이 완전히 엄격한 것인데, 이것은 당신이 가진 강력한 해법이나 분포와 관련하여 쓰여진 약한 해를 줄 것입니다.

— 사용자
소스

그러나 예산 제약 조건을 미적분학 변형 공식에 어떻게 통합합니까?

— Jyotirmoy Bhattacharya

이 링크를 확인 math.stackexchange.com/questions/279518/... , 라그랑주 승수 기능은!이 지배적 측정 거의 반드시 보유해야하지만, 당신이 당신에게 점별을 해석 할 수있는 강력한 솔루션을 제공해야 할 것입니다

— 사용자 157623

감사. 당신은 변형의 미적분학을 사용하는 것에 대한 힌트를 따라 Kolomogorov의 12 절에서 정리 1을 발견했으며 Fomin의 미적분학은 적분으로 표현 된 제약 조건을 처리하는 것으로 보입니다. 어떤 의미에서는 결국 Langrange 승수를 사용할 수 있습니다.

— Jyotirmoy Bhattacharya

이것은 유용하지만 답변이 아닌 설명으로 유용합니다.

— Alecos Papadopoulos

당신은 맞습니다 Jyotirmoy Bhattacharya, 아마도 누군가는 코멘트에 제공된 링크를 통해 완전히 답변하도록 편집 할 수 있습니다.

— user157623

OP가 의견에서 언급했듯이 Kolomogorov의 12 절의 정리 1 과 Fomin의 편차 계산법은 변수의 수가 무한 할 때 실제로 Langrange Multiplier 방법을 사용할 수있는 편안함을 제공하는 것으로 보입니다. 그럼에도 불구하고, 저자는 "각주 독자가 Langrange multipliers로 유추 를 쉽게 인식 할 것"이라고 각주에 표시합니다 . 아니, 이것은 우리가 원하는 것을 엄격하게 보여주지 않습니다.

우리에게 필요한 것은 Craven, BD (1970) 와 같은 종이라고 생각합니다 . 라그랑주 승수의 일반화. 호주 수학 학회지, 3 (03), 353-362. 요약하면 다음과 같습니다.

제한된 고정 값 문제를 해결하기위한 라그랑주 승수 방법은 함수가 임의의 Banach 공간 (실제 필드 위)에서 값을 취할 수 있도록 일반화됩니다. 유한 차원 문제의 라그랑주 승수 세트는 관련 Banach 공간 사이의 연속 선형 매핑으로 대체되는 것으로 나타납니다.

이것은 수학적으로 말하지만 우리가 듣고 싶었던 것을 말합니다 (콘텐츠를 신뢰하는 정도까지 위키 백과에서 짧은 설명을 찾을 수도 있습니다).

그런 다음 문제의 라그랑주를 구성 할 수 있습니다

Λ = \int_{0}^{1} c_{i}^{θ} d i + λ (M - \int_{0}^{1} p_{i} c_{i} d i)

$\Lambda = \int_0^1 c_i^\theta\,\text{d}i +\lambda\left(M - \int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i\right)$

비공식적으로 말하면 "적분을보고 합계를보고"를 통해 1 차 조건을 계산합니다.

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial Λ}{\partial c_{i}} = 0 \Rightarrow θ c_{i}^{θ - 1} = λ p_{i}, i \in [0, 1] \end{matrix}

$\frac{\partial \Lambda}{\partial c_i} = 0 \Rightarrow \theta c_i^{\theta-1} = \lambda p_i, \;\; i \in [0,1] \tag{1}$

... 연속 조건. 나중에 사용하기 위해 우리는 정의

σ \equiv 1 / (1 - θ), \Rightarrow 1 - θ = 1 / σ, θ = \frac{σ - 1}{σ}

$\sigma \equiv 1/(1-\theta), \Rightarrow 1-\theta = 1/\sigma, \;\; \theta = \frac {\sigma-1}{\sigma}$

$\sigma$

$(1)$ $j$

\begin{matrix} (2) & c_{i} = {(\frac{p_{i}}{p_{j}})}^{- σ} c_{j} \end{matrix}

$c_i = \left(\frac {p_i}{p_j}\right)^{-\sigma}c_j \tag{2}$

$p_i$ $i$

\int_{0}^{1} p_{i} c_{i} d i = \int_{0}^{1} p_{i}^{1 - σ} p_{j}^{- σ} c_{j} d i

$\int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i = \int_0^1 p_i^{1-\sigma}p_j^{-\sigma}c_j\,\text{d}i$

\Rightarrow M = p_{j}^{σ} c_{j} \int_{0}^{1} p_{i}^{1 - σ} d i

$\Rightarrow M = p_j^{\sigma}c_j\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i$

\begin{matrix} (3) & \Rightarrow c_{j} = p_{j}^{- σ} \cdot M \cdot {(\int_{0}^{1} p_{i}^{1 - σ} d i)}^{- 1} \end{matrix}

$\Rightarrow c_j = p_j^{-\sigma} \cdot M \cdot \left(\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i\right)^{-1} \tag{3}$

$j$

— 알레 코스 파파도풀로스
소스

Kolmogorov-Fomin 결과를 기계적으로 적용하면 솔루션을 얻을 수 있습니다. 따라서 우리는 라그랑주 승수와 비유에 호소 할 필요가 없습니다. 별도의 답변으로 작성하고 있습니다.

— Jyotirmoy Bhattacharya

이것은 @ user157623이 제공 한 정교함입니다. 편의상 커뮤니티 위키로 게시하고 있습니다.

콜 모고 로프의 제 12 Fomin의의 정리 (1) 변화의 미적분은 말한다

$J [y] = \int_{a}^{b} F (x, y, y^{'}) d x,$ $J[y] = \int_a^b F(x,y,y')\,dx,$ $y (a) = A, y (b) = b, K [y] = \int_{a}^{b} G (x, y, y^{'}) d x = l,$ $y(a)=A,\quad y(b)=b, \quad K[y] = \int_a^bG(x,y,y')\,dx=l,$ $K[y]$ $J[y]$ $y=y(x)$ $y=y(x)$ $K[y]$ $\lambda$ $y=y(x)$ $\int_{a}^{b} (F + λ G) d x,$ $\int_a^b (F+\lambda G)\,dx,$ $y=y(x)$ $F_{y} - \frac{d}{d x} F_{y^{'}} + λ (G_{y} - \frac{d}{d x} G_{y^{'}}) = 0.$ $F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}+\lambda\left(G_y-\frac{d}{dx}G_{y'}\right)=0.$

$x$ $i$ $c$ $y$ $F(i,c,c')=c^\theta$ $G(i,c,c')=pc$

θ c_{i}^{θ - 1} + λ p_{i} = 0

$\theta c_i^{\theta-1} + \lambda p_i=0$

$K[y]$ $y(a)$ $y(b)$ $c$ $c^*(i)$ $c(0)=c^*(0), c(1)=c^*(1)$

유일한 발견은 정리 자체의 본질이다. 최적의 조건을 제공합니다. 우리의 경우 필요한 조건은 고유 한 결과를 제공하므로 충분하게 만들려면 문제에 해결책이 있다고 주장하는 것입니다.

Kolmogorov-Fomin의 증거는 우리가 다루는 기능이 연속적인 1 차 도함수를 가지고 있다고 가정합니다. 따라서 우리는 여전히 소비자의 문제가이 기능 클래스에서 최적이지만 문제가 해결되었다는 것을 보여줄 필요가 있습니다.

— Jyotirmoy Bhattacharya
소스