나는 비용 함수가 형태의 오목한 증거를 보았다.
$ c (w, q) + (1- λ) c (w ', q) $
이것은 설득력이 없으며 입력 요구가 아래쪽으로 기울어지는 것을 증명하는 방향으로도 보이지 않습니다.
내 질문에 더 간결하게, 그것은 두 부분입니다.
첫째, 생산 기능에 관계없이 모든 비용 함수가 오목하다는 것을 증명하십시오.
둘째, 첫 번째 단계를 사용하여 입력 요구 사항이 아래쪽으로 기울어 져 있음을 보여줍니다.
나는 비용 함수가 형태의 오목한 증거를 보았다.
$ c (w, q) + (1- λ) c (w ', q) $
이것은 설득력이 없으며 입력 요구가 아래쪽으로 기울어지는 것을 증명하는 방향으로도 보이지 않습니다.
내 질문에 더 간결하게, 그것은 두 부분입니다.
첫째, 생산 기능에 관계없이 모든 비용 함수가 오목하다는 것을 증명하십시오.
둘째, 첫 번째 단계를 사용하여 입력 요구 사항이 아래쪽으로 기울어 져 있음을 보여줍니다.
답변:
비용 최소화 문제에 대한 해답을 $ x (w, q) $라고하자.
\ begin {eqnarray *} \ min_ {x} & amp; \ w \ cdot x \\ \ text {s.t.} & amp; \ \ f (x) \ geq q \ end {eqnarray *} 여기서 $ f $는 생산 함수입니다. $ x (w, q) $는 $ (w, q) $에서 비용을 최소화하기 때문에 모든 $ w $와 $ q $ \ begin {eqnarray *} \ cdot x (w, q) \ leq w \ cdot x (w ', q)
또한 비용 함수는 입력 선택을 최소화하는 비용의 비용이라는 것을 알고 있습니다. \ begin {eqnarray *} C (w, q) = w \ cdot x (w, q) \ end {eqnarray *}
먼저, 우리는 $ C $가 $ w $에서 오목하다는 것을 보여줄 것입니다. [0, 1] $에서 임의의 $ w ', $ w' '및 임의 $ lambda \를 고려하십시오. \ begin {eqnarray *} C (\ lambda w '+ (1- \ lambda) w ", q) & amp; = & amp; (λw '+ (1- λ) w' ', q) \\ & amp; = & amp; cdot x (\ lambda w '+ (1- \ lambda) w' ', q) + (1- \ lambda) w '', q) \\ & amp; \ geq & amp; \ cdot x (w ', q) + (1- \ λ) w \ cdot x (w ", q) \\ & amp; = & amp; \ lambda C (w ', q) + (1- \ lambda) C (w ", q) \ end {eqnarray *} 따라서 $ C $는 $ w $에서 오목하다.
입력 수요가 아래쪽으로 기울어 져 있음을 보여주기 위해 임의의 $ w '$ 및 $ w "$를 고려하면, \ begin {eqnarray *} \ cdot x (w ', q) & amp; \ leq & amp; cdot x (w ", q) & gt; & gt; \ leq & amp; w ''\ cdot x (w ', q) \ end {eqnarray *} 우리가 그들을 추가하면 (x '', q) - x (w '', q)) & lt; \ begin {eqnarray *} (w'-w '') \ leq & amp; 0 \ end {eqnarray *} 이제 우리는 $ w '와 $ w' '$가 $ j $ 번째 입력의 가격에서만 다른 특별한 경우를 고려합니다. 따라서, (w ', q) - (w_j'-w_j ") (x_j (w', q) ) - x_j (w ", q)) & amp; \ leq & amp; 0 \ end {eqnarray *} 따라서 $ j 번째 투입에 대한 수요는 그 가격과 반비례 관계에있다.