경제 이론의 위상 개념

질문 : 1960 년대 이후의 수학을 미시 경제학에 주요 또는 체계적으로 적용한 것은 무엇입니까?

예를 들어, 19 세기 후반, Fisher는 먼저 깁스의 수학적 아이디어를 사용하여 현대적인 유틸리티 이론을 구성했습니다. 20 세기에 Mas-Colell은 일반 평형을 연구하기 위해 토폴로지 아이디어를 통합했습니다. 20 세기 후반, 21 세기 초는 어떻습니까?

예를 들어, 방향 그래프 이론, 측정 이론, 토폴로지, 범주 이론 및 현대 상 동성 또는 상 동성, 토포스 방법, 기능 통합 등을 고려하십시오.

참고 1 : 모델링이없는 계량 경제학 / 통계는 제외됩니다. 거기에 사용 된 유일한 현대 수학은 랜덤 워크 이론과 복잡한 문제 분석을 통해 해결 된 인체 공학적 문제입니다. RW와 EP는 경제에만 국한되지 않습니다.

적절한 경제학 출판물이 답입니다. 여기에는 비 경제학 저널 (예 : Journal of Mathematical Psychology)에 출판 된 논문도 포함 됩니다.

참고 2 : 예, 알고 있습니다.이 유형의 작업은 드문 경우입니다 (모호함과 혼동해서는 안됩니다. 일부는 잘 알려져 있습니다). 그것이 출판 될 때 그러한 참조를 놓치기 쉽게 만드는 것입니다. 따라서 질문입니다.

나는 측정 이론의 적용을 위해 떠오르는 중요한 영역이 대략적인 동적 프로그래밍 기술에있을 것이라고 강력히 의심한다. 대략적인 동적 프로그래밍 (일명 컴퓨터 과학 문헌에서 "강화 학습")은 동적 프로그래밍 문학의 지난 10 ~ 20 년 동안 연구 작업의 방향이었습니다. 경제는 이제 막 이러한 진보 중 일부를 채택하기 시작했습니다. DP 문헌의 방향에 대한 예는 Bertsekas의 동적 프로그래밍 시리즈의 최신 4 판 확장 또는 Powell의 대략적인 DP : 차원의 저주 해결을 참조하십시오.. 경제학자들은 이러한 도구 중 일부를 직간접 적으로 선택하기 시작했으며 앞으로 몇 년 동안 문헌에 영향을 미칠 것으로 생각됩니다. 이러한 방법의 수렴에 대한 분석 배경 중 일부는 토폴로지 및 동적 시스템입니다.

경제학자들의 이러한 유형의 문헌에 대한 이론적 기여의 좋은 예는 Pál and Stachurski (2013), Probability One Contractions를 가진 적합치 함수 반복 (ungated version here )입니다. 그 논문을 숙독하고 당신은 좋은 측정 이론 이해의 중요성을 볼 수 있습니다. Stachurski의 책 Economic Dynamics 는 실제로이 관점에서 다이나믹 프로그래밍을 매우 훌륭하게 표현한 것으로 , 여러 수준의 대학원생 / 전문가에게 적합한 속도로 구축됩니다 (측정 이론은 내가 끝까지 공식적으로 제시합니다-나는 여전히 노력하고 있습니다 그 통찰력).

희망적으로 이것은 귀하의 질문에 어느 정도 대답합니다. "1960 년대 이후의 수학"이라는 구절이 (수학 문학의 역사에 대한 지식이 부족하기 때문에) 나에게 다소 모호한 것이 두렵습니다.

댓글이 너무 길었습니다. "Post 1960"은 미시 이론을 포함하여 응용 분야에 대한 임의적이고 매우 높은 막대로 보입니다 . 당신이 명명 한 대부분의 주제는 현대 수학으로 간주되지 않습니다. 예를 들어, 측정 이론은 Lebesgue의 논문으로 시작했으며 100 년이 넘었습니다. 토폴로지는 훨씬 나이가 많으며 상 동성 그룹을 도입 한 Poincare로 시작되었습니다. 둘 다 미적분학과 같이 오늘날 학부생들에게 배웁니다. (Ge에서 Mas-Colell 등이 사용하는 수학은 토폴로지가 아니라 분석입니다.)

20 세기 중반부터 응용 공동체에 현대 수학을 주도하는 연구 프로그램의 외부 성은 기껏해야 간접적입니다. 예를 들어, 비정규 적 기하학, Langland의 프로그램, Poincare 추측, Baum-Connes 추측, 쌍둥이 주요 추측 (이 문제에 대한 진전으로 1960 년 이후에 메달 메달이 수여 됨) 등에 의해 동기가 부여 된 관점과 기술. --- 수학 밖에서는 절대 보지 못할 것입니다. 물론 수학 금융은 수학으로 남아 있지만 경제적 인 관점에서 완전히 제거되었습니다.

편집 당신의 질문을 직접적으로 다루는 것은 Chichilnisky, et. 알. 다음은 지형 학자의 주제에 대한 JET 논문입니다.

http://math.uchicago.edu/~shmuel/TSC.pdf .

아마도 토폴로지에 대한 전문 지식을 가진 사람이 더 언급 할 수 있습니다.

로브 공간 은 연속 요원으로 상황을 모델링하는 데 사용되었습니다. http://eml.berkeley.edu/~anderson/Book.pdf 및 일하는 수학자를위한 비표준 분석 책의 경제 응용 프로그램에 대한 Sun의 장을 참조하십시오 .

측정 이론은 공정 분할 (일명 "케이크 컷팅")의 문제에서 널리 사용됩니다. 경제 저널의 공정성에 관한 많은 논문을 참조하십시오 .

특정 예를 들면, Tatsuro Ichiishi 및 Adam Idzik, "분할 가능한 상품의 공정한 배분", JME 1999를 참조하십시오 .

Michael이 언급 한 Chichilnisky의 작업 외에도 사회 선택 이론에서 토폴로지의 또 다른 흥미로운 사용은 경제 영역에 대한 Arrow의 정리에 대한 Redekop의 작업에서 나타납니다.

• Redekop, J. (1991). 제한된 경제 영역에서 사회 복지 기능. 경제 이론, 53, 396–427.
• Redekop, J. (1993a). 화살표가 일치하지 않는 경제 영역. 사회적 선택과 복지, 10, 107–126.
• Redekop, J. (1993b). 경제 선호도가있는 일부 공간에 대한 설문지 토폴로지. 수학 경제학 저널, 22, 479–494.
• Redekop, J. (1993c). 파라 메트릭 영역에서 사회 복지 기능. 사회적 선택과 복지, 10, 127–148.
• Redekop, J. (1995). 경제 환경에서 화살표 정리. WA Barnett, H. Moulin, M. Salles 및 NJ Schofield (Eds.), 사회 선택, 복지 및 윤리 (pp. 163–185). 케임브리지 : Cambridge University Press.
• Redekop, J. (1996). 혼합 상품, 확률 론적 및 역동적 인 경제 환경에서 화살표 정리. 사회적 선택과 복지, 13, 95–112.

Arrow의 불가능 성 정리는 원래 추상 대안에 대해 입증되었으며이 대안에 대한 모든 가능한 선호도 프로파일을 허용합니다. Redekop (및 다른 사람들)이 물었던 질문은 대체물이 상품 묶음 일 때 화살표의 정리에 상응하는 것이며, 대리인은 해당 상품에 대해 "고전적"선호를 가지고 있습니다 (단음, 볼록, 연속, 이기적인 등).

더 정확하게는이 경제 영역에 대한 세 가지 아로 비안 공리 (무의미한 대안, 약한 파레토, 비 독재자의 독립성)를 만족시키는 사회 복지 기능이 있는지에 대한 문제가 있었다 (Le Breton, Michel, John A. Weymark 참조). 경제 영역에 관한 17 장-아로 비안 사회 선택 이론. "사회 선택 및 복지 편람 2 (2011) : 191-299 (이 답변에 근거한 훌륭한 리뷰).

대략 Redekop의 연구에 따르면 이러한 경제 문제 중 일부에 대해 선호 영역이 Arrovian 사회 복지 기능을 인정할 경우 해당 영역은 토폴로지 적으로 "작게"되어야합니다. 예를 들어, Redekop (1991)에서 그는 설문지 토폴로지 라고 불리는 선호 사항 세트에 대한 독창적 인 토폴로지를 도입 했으며, 공공재 상품 경제에서 선호 도메인 도메인이 Arrovian 사회 복지 기능을 인정하면 도메인은 이 토폴로지에 따라 밀도 가 높지 않아야합니다 (즉, 도메인 폐쇄에는 열린 세트가 포함되지 않음).