거의 이상적인 수요 시스템에서 $ b (p) $는 무엇입니까?

할 베리안의 미시 경제 분석 (213 쪽)에서 그는 거의 이상적인 수요 시스템 . 거기서 그는 AIDS 시스템을 다음과 같이 설명합니다.

거의 이상적인 수요 시스템 (AIDS)은 다음과 같은 형태의 지출 함수를 가지고있다. $$ e (\ boldsymbol {p}, u) = a (p) + b (p) u $$ 어디에 $$ a (p) = a_0 + \ sum_ia_i \ log p_i + \ frac {1} {2} \ sum_i \ sum_j \ gamma ^ * _ {ij} \ log p_i \ log p_j $$ $$ b (p) = \ beta_0 \ prod p_i ^ {\ beta_i} $$ $$ ... $$

그래서 나는 알고있다. $ a (p) $ 의 2 차 근사이다. $ p $ 그러나 지출 기능에 대해서는 정확히 이해하는 데 어려움을 겪고 있습니다. $ b (p) $ 입니다.

무엇입니까 $ b (p) $ ?

에 의해 원래 기사에서 Deaton 및 Muellbauer (1980), 거의 이상적인 수요 시스템 PIGLOG 환경 설정 클래스의 비용 (비용) 기능을 다음과 같이 특성화합니다.

$ {\ (b)}} $ $ \ log c (u, p) = (1-u) \ log \ {a (p) \}

직관적 인 용어로 설명하는 곳 :

"몇 가지 예외 사항이 있지만 (부록 참조) $ u $ 사이에있다 $ 0 $ (생존) 및 $ 1 $ (행복)하여 긍정적 인 선형 균등 함수 $ a (p) $ 과 $ b (p) $ 생존과 행복의 비용으로 간주 될 수있다. "(313 쪽)

일부 대수학이 방정식을 얻습니다. $ (2) $ 과 $ (3) $ 이 논문에서 여러분은 위의 방정식과 비슷한 형태를 가지고 있습니다.

그래서 저는 이것에 대해 조금 파고 들었습니다. 간접적 인 결과로 보입니다. Stone-Geary 유틸리티 함수 . 100 % 확실하지는 않지만 확실히 확신합니다. ^** .

stone-geary 유틸리티 함수는 다음과 같이 정의됩니다. (x_1, ..., x_n) = \ prod_ {i = 1} ^ n (x_i- \ gamma_i) ^ {\ beta_i} $$

석기 선호에 대한 마샬의 요구는 다음과 같이 정의된다. $$ x ^ * _ i = \ gamma_i + \ frac {\ beta_i} {p_i} \ left (m- \ sum_ {j = 1} ^ np_j \ gamma_j \ right) \ forall \ \ i \ neq j $$

이 결과를 우리의 유틸리티 함수로 옮겨 우리의 간접 유틸리티 함수를 얻습니다 : (x ^ * _ i- \ gamma_i) ^ {\ beta_i} $$ ($ ^ * _ 1, ..., x ^ * _ n) = \ prod_ { \ gamma_i + \ frac {\ beta_i} {p_i} \ left (m- \ sum_ {j = 1}) $$ V (p_1, ..., p_n, m) = \ prod_ { ^ np_j \ gamma_j \ right) - \ gamma_i \ right) ^ {\ beta_i} $$ \ frac {\ beta_i} {p_i} \ left (m- \ sum_ {j = 1} ^ np_j) \ $$ V (p_1, ..., p_n, m) = \ prod_ { \ gamma_j \ right) \ right) ^ {\ beta_i} $$

양변 곱하기 $ \ prod_ {i = 1} ^ np_i ^ {\ beta_i} $ 과 $ \ prod_ {i = 1} ^ n \ frac {1} {\ beta_i ^ {\ beta_i}} $ 우리는 얻는다 :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, (m- \ sum_ {j = 1} ^ np_j \ gamma_j) ^ {\ beta_i} $$

문헌 전체에 걸쳐 $ \ beta_0 $ "추정 할 수없는 매개 변수"로 정의되었습니다. $ \ prod_ {i = 1} ^ n \ frac {1} {\ beta_i ^ {\ beta_i}} = \ beta_0 $ ~과 $ V (p_1, ..., p_n, m) $ 어느 수준의 효용으로 고정되어있다. $ u $ 우리는 그러므로 가지고있다 :

따라서: i = 1} ^ n (i-1) ^ np_j \ gamma_j) \ {\ beta_i} \ prod_ { $$

이것이 매우 유사한 점에 주목하십시오. $ b (p) $ varian에 의해 정의 된대로 ^* . 따라서 그것은 생존 이상의 소득 수준을 중심으로 한 cobb-douglas 선호 (stone-geary) 돈의 관점에서 (물품이 아님).

이것은 소비자가 더 이상 생계를 꾸리려고하지 않을 때 환경 설정에 의해 어떻게 소비되는지를 보여줍니다.

RHS의 2 차 테일러 근사법을 $ p_j $ (우리 시스템에서 모든 가격을 보상합니다)

(2) \ sum_i \ sum_j \ delta ^ \ f_ {1} {2} \ sum_i \ sum_i \ log_pre_ { * _ {ij} \ log p_i \ log p_j $$

어느 차례입니까? $$ \ beta_0 \ prod_ {i = 1} ^ n p_i ^ {\ beta_i} u = \ log \ left (\ frac {m} {P} \ right) $$

어디에 $ p_i \ log p_j $ \ log (P) = a_0 + \ sum_ia_i \ log p_i + \ frac {1} {2} \ sum_i \ sum_j \ delta ^ * _ {ij}

우리가 LHS 용어를 사용하는 이유는 RHS 용어 대신에 유틸리티가 정의에 의해 분리 될 필요가있는 지출 기능으로서 AIDS 시스템을 구성하기 때문입니다.

TL; DR 이것은 왜 우리가 이상적인 수요 시스템 (Almost Ideal Demand System)에서 하위로 끝나는 매개 변수를 사용하는지 이해하려는 시도였습니다.

_{* Deaton과 Muellbauer (1980)가 정의한 바에 따르면 이것은 완전히 사실이 아니다 $ \ log \ {b (p) \} = 로그 \ {a (p) \} + \ beta_0 \ prod_ {i = 1} ^ n p_i ^ {\ beta_i} $ 그러나 이것이 PIGLOG 시스템의 구조에서 사용 된 정의의 결과로 사라지기 때문에, id는 괜찮다고 생각합니다.}

_{** 카스텔 론 (Castellón 's), 분선 (Boonsaeng 's)과 카르 피오 (Carpio 's)  종이 가격 데이터가없는 경우의 수요 시스템 추정 : Stone-Lewbel 가격 지표 6 페이지}