CES 기능에서 Leontief 및 Cobb-Douglas 생산 기능을 어떻게 얻을 수 있습니까?

가장 미시 교과서에서 언급되는 탄성 상수 교체 (CES) 생산 함수의

$$Q=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$$

(치환 탄성은 $\sigma = \frac 1{1+\rho},\rho > -1$)에는 Leontief 생산 기능과 Cobb-Douglas 기능이 모두 한계가 있습니다. 구체적으로

$$\lim_{\rho\to \infty}Q= \gamma \min \left \{K , L\right\}$$

과

$$\lim_{\rho\to 0}Q= \gamma K^aL^{1-a}$$

그러나 이러한 결과에 대해 수학적 증거를 제공하지는 않습니다.

누군가이 증거를 제공 할 수 있습니까?

또한, 위의 CES 함수는 외부 지수가 이므로 상수 리턴-투-스케일 (1 도의 균질성)을 통합합니다 . 그것이 라면, 동질성 정도는 입니다. $-1/\rho$$-k/\rho$$k$

경우 제한 결과는 어떻게 영향을 받 습니까?$k\neq 1$

내가 제시 할 증거는 CES 생산 기능이 일반화 된 가중 평균 형태라는 사실과 관련된 기술을 기반으로 한다 .
이것은 CES 기능이 도입 된 원본 논문 인 Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS 및 & Solow, RM (1961)에서 사용되었습니다. 자본 노동 대체 및 경제 효율성. 경제 및 통계 검토, 225-250.
거기서 저자들은 Hardy, GH, Littlewood, JE, & Pólya, G. (1952) 라는 책을 독자들에게 소개했습니다 . 불평등 , 장 .$2$

일반적인 경우

$$Q_k=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{k}{\rho}},\;\; k>0$$

$$\Rightarrow \gamma^{-1}Q_k = \frac 1{[a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}}}$$

1) 리미트 때$\rho \rightarrow \infty$
우리는 제한 관련 때문에 때 우리 간격을 무시할 수있는 및 치료 엄격히 긍정적있다.$\rho\rightarrow \infty$$\rho \leq0$$\rho$

일반성을 잃지 않고 . 우리는 또한이 . 그런 다음 다음과 같은 불평등이 있는지 확인합니다.$K\geq L \Rightarrow (1/K^{\rho})\leq (1/L^{\rho})$$K, L >0$

$$(1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq \gamma Q_k^{-1} \leq (1/L^{k})$$

$$\implies (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq [a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}} \leq (1/L^{k}) \tag{1}$$

받는 내내 상승에 의해 하려면 전원$\rho/k$

$$(1-a)(1/L^{\rho}) \leq a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) \leq (1/L^{\rho}) \tag {2}$$ 이 가정은 분명히 가정합니다. 다음의 첫 번째 요소로 돌아가 및$(1)$

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty} (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k}) =(1/L^{k})$$

에서 의 중간 항을 샌드위치 하므로$(1)$$(1/L^{k})$

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty}Q_k = \frac {\gamma }{1/L^k} = \gamma L^k = {\gamma }\big[\min\{K,L\}\big]^{k} \tag{3}$$

그래서 대해 , 우리는 기본 레온 티에프 생산 함수를 얻었다.$k=1$

2) 제한$\rho \rightarrow 0$
지수를 사용하여 함수를 다음과 같이 작성하십시오.

$$\gamma^{-1}Q_k=\exp\left\{-\frac k{\rho}\cdot \ln\big[a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1}\big]\right\} \tag {4}$$

와 관련하여 로그 내부 항의 1 차 Maclaurin 확장 (테일러 확장이 0을 중심으로 함)을 고려하십시오 .$\rho$

$$a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1} \\= a (K^{0})^{-1} +(1-a) (L^{0})^{-1} -a (K^{0})^{-2}K^{0}\rho\ln K- (1-a) (L^{0})^{-2}L^{0}\rho\ln L + O(\rho^2) \\$$

$$=1 - \rho a\ln K - \rho(1-a)\ln L+ O(\rho^2) = 1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^2)$$

이것을 다시 삽입 하고 외부 지수를 제거하십시오.$(4)$

$$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^{2})\right)^{-k/\rho}$$

불투명 한 경우 정의 하고 다시 쓰십시오.$r\equiv 1/\rho$

$$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\frac{\big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]}{r}+ O(r^{-2})\right)^{-kr}$$

이제 무한대의 제한이 우리에게 지수를 제공하는 표현식처럼 보입니다.

$$\lim_{\rho\rightarrow 0}\gamma^{-1}Q_k = \lim_{r\rightarrow \infty}\gamma^{-1}Q_k = \left(\exp\left\{ \ln K^{-a}L^{-(1-a)}\right\} \right)^{-k}$$

$$\Rightarrow \lim_{\rho\rightarrow 0}Q_k =\gamma\left(K^{a}L^{1-a}\right)^k$$

함수 의 균질도 는 유지되며 이면 Cobb-Douglas 함수를 얻습니다.$k$$k=1$

Arrow와 Co가 CES 함수의 "배포"매개 변수 를 호출 것은이 마지막 결과였습니다 .$a$

Cobb-Douglas 와 Leotief 를 얻는 일반적인 방법 은 L' Hôpital의 규칙 입니다.

다른 방법도 사용해야합니다. 설정 반환 될 것이다 및 미분을 통한 총 미분 일부 조작으로 우리의 주요 방정식을 얻을 수 있습니다.$\gamma=1$$Q=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

$$Q^{-\rho}=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]$$ $$-\rho Q^{-\rho-1}dQ=- a\rho K^{-\rho-1}dK -(1-a)\rho L^{-\rho-1}dL$$

$$dQ= a {(\frac{Q}{ K})}^{1+\rho}dK +(1-a){(\frac{Q}{ L})}^{1+\rho}dL$$

선형 함수 :$\lim_{\rho\to -1}{dQ}\Rightarrow Q=aK+(1-a)L$

콥-더글라스 기능 : 양측에서 적분을 취하면

$$\lim_{\rho\to 0}{dQ}\Rightarrow \frac{1}{Q}dQ= a {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a){(\frac{1}{ L})} dL$$

$$\int\frac{1}{Q}dQ= a \int {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a)\int{(\frac{1}{ L})} dL$$

$$Q=K^a L^{(1-a)}e^{C}=AK^a L^{(1-a)}$$

Leontief 기능 :$\lim_{\rho\to \infty}{dQ}\Rightarrow min(aK,(1-a)L)$