데 브레 우 정리의 응용 / 일반화

Debreu의 논문 "인접 경제 요원"(La Decision 171 (1969) : 85-90; G. Debreu, 수학 경제학 : Gerard Debreu의 20 개의 논문 (1986), pp. 173에서 재 인쇄 된 방법을 알고 싶습니다. -178)가 사용되었습니다 :

정리. 토폴로지 공간$M$ 그리고 미터법 공간 $H$, 허락하다 $\varphi$ 설정 값 매핑 $M$ 에 $H$ 컴팩트 한 가치 $\varphi(e)$ 모든 소형 $e \in M$) 및 연속 . 또한 각각에 대해$e \in M$ 허락하다 $\lesssim_e$세트 가 닫히 에 대한 전체 선주문입니다 . 그런 다음 설정 값 매핑 을 에서 로$\varphi(e)$$\{(e, x, y) \in M \times H \times H : x \lesssim_e y\}$$\varphi^0$$M$$H$

$\varphi^0(e) = \{z \in \varphi(e) : x \lesssim_e z \ \ \mbox{for all} \ x \in \varphi(e)\}, \quad e \in M,$

콤팩트 한 값이며 상반 연 입니다.

정리는 잘 알려진 Berge Maximum Theorem과 유사합니다. 정리의 진술에 앞서, 데 브레 우 (Debreu)는 그 특수한 사례는 "경제 균형 이론과 게임 이론에서 반복적으로 사용되었다"고 언급하지만 어떠한 언급도하지 않는다. 논문 자체에서, 그것은 교환 경제에서 에이전트에 대한 수요 대응의 상반 연속성을 증명하는 데 사용됩니다.

특히이 정리의 최근 사용 또는 일반화가 있었는지, 특히 컴팩트 한 값이 아닌 매핑에 관심이 있습니다.

질문 : 위 정리의 적용에 대한 좋은 예 및 / 또는 참고 문헌은 무엇입니까? 간결하지 않은 매핑으로 일반화 되었습니까?

이 결과는 실제로 Berge의 최대 정리 버전입니다. 만약 인 경우에만 와 같은 연속 함수 있다면 결과를 직접 도출 할 수 있습니다 Berge의 최대 정리에서 경우 이 경우와 같이, 국부적으로 소형 인 경우 하고 이러한 기능은 항상 발견 될 수 있고, 이는 매스 - Colell 년대 정리 1로부터 다음 선주문의 연속 표현에서 (적어도 만약 은 만족할 만하지 만 그 시점은 확실하지 않습니다). 이러한 "연속적인 유틸리티 기능"에 대한 자세한 내용 은 기본 설정 순서의 8 장에서 찾을 수 있습니다.$u:M\times H\to\mathbb{R}$$x\preceq_e z$$u(e,x)\leq u(e,z)$$H$$H=\mathbb{R}^n$$M$1995 년 Bridges & Mehta.

이제 Debreu는 그러한 결과를 얻지 못 했으므로 선호 관계를 다루고 Berge의 최대 정리를 근본적으로 입증했습니다 (일반화는 수학적으로 간단합니다). 왜 그렇게 했습니까? 이를 이해하려면, Debreu의 논문의 요점을 이해해야합니다. Debreu의 논문은 nioce 속성을 가지고 있고 경제적 인 행동을 지속적으로하는 선호 관계에 관한 토폴로지를 찾고 있습니다. 그러한 결과에 대한 필요성은 연속적인 대리인을 가진 경제에 관한 문헌에서 비롯됩니다.

에이전트 경제의 연속성이 유한 한 이오 노미 시퀀스의 한계라는 것은 무엇을 의미합니까? 한 가지 해답은 에이전트의 특성 분포가 연속 경제의 특성 분포로 수렴되므로 수렴 개념은 분포의 수렴이라는 것입니다. 이 아이디어를 작동 시키려면 에이전트의 특성을 이해해야합니다. 이제 요원은 자신의 엔 다우먼트와 선호도 (그리고 더 일반적인 모델에서 그녀의 소비 세트에 의해)가 특징입니다. 엔 다우먼트, 유클리드 토폴로지에 대한 자연적 토폴로지가 있지만, 환경 설정을 이해하는 것은 덜 간단하며, 이것이 데 브레가 그의 논문에서 한 것입니다. 이러한 분포 적 접근에 대한 설명은 Hildenbrand 1974, 대 경제의 핵심 및 평형 에서 찾을 수있다 .

이제 비 정밀적인 선택에 대해 Berge의 정리를 적용하려는 경우가 있습니다. 이것은 무한한 차원의 상품 공간을 가진 경제를 연구 할 때 중요 할 수 있습니다. 이 문제를 해결하는 한 가지 방법은이 집합으로 제한 될 때 해당 값이 작고 비어 있지 않은 컴팩트 한 집합을 찾는 것입니다. "일반 게임"또는 "추상 경제"(기본적으로 전략 공간이 다른 사람들의 행동에 의존하는 정규 게임)에 대한 매우 기술적으로 큰 문헌이 있으며, 이들은 종종 Berge 정리의 비정규 일반화를 암시 적으로 포함합니다. 이 책을 손에 넣을 수 있다면 Xian-Zhi Yuan 1999 4 장, KKM 이론 및 비선형 분석의 응용을 참조하십시오. 그러나 저는 이러한 결과가 경제적 인 응용에 유용하지 않다는 인상을 받았습니다. 무한 치수 상품 공간이있는 모델에서 Walrasian 평형이 존재 함을 증명하기 위해 일반적으로 다른 방법을 사용합니다.