피드백 효과 / 증폭 해결

치다

f (x) + z = y x = g (y)

$f(x) + z = y \\ x = g(y)$

피드백 효과를 염두에두고 있습니다.

우리는 z를 1 % 충격
직접적인 반응으로 y는 증가합니다
x는 두 번째 방정식을 통해 y와 함께 증가합니다
f (x)를 통해 y가 증가합니다. 3.-4를 반복하십시오. 새로운 평형까지

wrt 의 탄성을 푸는 데 관심이 있습니다. 에서 일종의 오목 성 요구 사항이 필요하다고 생각합니다 . 어떻게 접근합니까? $x,y$ $z$ $f \circ g$

mathematical-economics

— 푸바
소스

우리는 의해 주어진 평형 집니다 . 함축적 인 함수 정리는 다음과 같이 말합니다 (인수 생략).

h_{1} (x, y) = f (x) + z - y = 0,

$h_1(x,y)=f(x)+z-y=0,$

h_{2} (x, y) = x - g (y) = 0

$h_2(x,y)=x-g(y)=0$

\frac{\partial x}{\partial z} = \frac{- det (\begin{matrix} \frac{\partial h_{1}}{\partial z} & \frac{\partial h_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial h_{2}}{\partial z} & \frac{\partial h_{2}}{\partial y} \end{matrix})}{det (\begin{matrix} \frac{\partial h_{1}}{\partial x} & \frac{\partial h_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial h_{2}}{\partial x} & \frac{\partial h_{2}}{\partial y} \end{matrix})}, \frac{\partial y}{\partial z} = \frac{- det (\begin{matrix} \frac{\partial h_{1}}{\partial x} & \frac{\partial h_{1}}{\partial z} \\ \frac{\partial h_{2}}{\partial x} & \frac{\partial h_{2}}{\partial z} \end{matrix})}{det (\begin{matrix} \frac{\partial h_{1}}{\partial x} & \frac{\partial h_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial h_{2}}{\partial x} & \frac{\partial h_{2}}{\partial y} \end{matrix})} .

$\frac{\partial x}{\partial z}=\frac{-\det\left( \begin{matrix} \frac{\partial h_1}{\partial z} & \frac{\partial h_1}{\partial y} \\ \frac{\partial h_2}{\partial z} & \frac{\partial h_2}{\partial y} \end{matrix}\right)}{\det\left( \begin{matrix} \frac{\partial h_1}{\partial x} & \frac{\partial h_1}{\partial y} \\ \frac{\partial h_2}{\partial x} & \frac{\partial h_2}{\partial y} \end{matrix}\right)},\quad \frac{\partial y}{\partial z}=\frac{-\det\left( \begin{matrix} \frac{\partial h_1}{\partial x} & \frac{\partial h_1}{\partial z} \\ \frac{\partial h_2}{\partial x} & \frac{\partial h_2}{\partial z} \end{matrix}\right)}{\det\left( \begin{matrix} \frac{\partial h_1}{\partial x} & \frac{\partial h_1}{\partial y} \\ \frac{\partial h_2}{\partial x} & \frac{\partial h_2}{\partial y} \end{matrix}\right)}.$

이에 대한 나의 소스는 경제학자에 대한 수학적 방법 및 모델 지금 손에 책이없는과 직관의 자신을 생각 나게 할 수는 없지만, 천사 드 라 푸 엔테으로합니다.

이는

\frac{\partial x}{\partial z} = \frac{g^{'} (y)}{1 - f^{'} (x) g^{'} (y)}

$\frac{\partial x}{\partial z}=\frac{g'(y)}{1-f'(x) g'(y)}$

\frac{\partial y}{\partial z} = \frac{1}{1 - f^{'} (x) g^{'} (y)} .

$\frac{\partial y}{\partial z}=\frac{1}{1-f'(x) g'(y)}.$

암시 적 함수 정리가 유지 솔루션이 유효하려면 합니다. $1-f'(x) g'(y)\neq0$

더 일반적으로, 이것이 작동하는 방식은 다음과 같습니다 : 당신은 근이 평형을 특징 짓는 방정식 시스템을 작성합니다 :

F_{1} (x; a) = 0, F_{2} (x; a) = 0, \dots, F_{n} (x; a) = 0

$F_1(\mathbf{x};a)=0,F_2(\mathbf{x};a)=0,\ldots,F_n(\mathbf{x};a)=0$

(여기서 는 관심있는 매개 변수입니다). 그것들로부터 우리는 벡터 값 함수를 구성합니다 $a$

F (x) = [F_{1} (x; a), F_{2} (x; a), \dots, F_{n} (x; a)]

$\mathbf{F}(x)=[F_1(\mathbf{x};a),F_2(\mathbf{x};a),\ldots,F_n(\mathbf{x};a)]$ Jacobian이 있음 행렬

J = \frac{d F}{d x} = [\begin{matrix} \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{m}} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial F_{n}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial F_{n}}{\partial x_{m}} \end{matrix}] .

$\mathbf J = \frac{d\mathbf F}{d\mathbf x} = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_1}{\partial x_m}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \dfrac{\partial F_n}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_n}{\partial x_m} \end{bmatrix}.$

와 관련하여 의 미분을 계산 하기 위해 열 을 대신 미분 WRT 대체하는 수정 된 Jacobian을 구성합니다 . 따라서 경우 $x_i$ $a$ $i^{\text{th}}$ $a$ $x_i$ $x_1$

J_{x_{1}} = [\begin{matrix} \frac{\partial F_{1}}{\partial a} & \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{2}} & \dots & \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{m}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial F_{n}}{\partial a} & \frac{\partial F_{n}}{\partial x_{2}} & \dots & \frac{\partial F_{n}}{\partial x_{m}} \end{matrix}] .

$\mathbf{J}_{x_1}=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial a} & \dfrac{\partial F_1}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial F_1}{\partial x_m}\\ \vdots & \vdots&\ddots & \vdots\\ \dfrac{\partial F_n}{\partial a}&\dfrac{\partial F_n}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial F_n}{\partial x_m} \end{bmatrix}.$

관심 파생 상품은

\frac{\partial x_{i}}{\partial a} = \frac{- det J_{x_{i}}}{det J} .

$\frac{\partial x_i}{\partial a}=\frac{-\det\mathbf{J}_{x_i}}{\det\mathbf{J}}.$

암시 적 함수 정리가 유효 하려면 이 필요합니다. $\det\mathbf{J}\neq0$

— 유비쿼터스
소스