콥-더글라스에 대한 마샬 린 수요

콥 더글러스 유틸리티 기능을 갖는 유용성을 최대화하려고 할 때 와 , I는 다음 식 (찾을 위키 : Marshallian 수요 )$u=x_1^ax_2^b$$a+b = 1$

$x_1 = \frac{am}{p_1}\\ x_2 = \frac{bm}{p_2}$

내 책 중 하나에서 나는 같은 목적으로 이러한 공식을 찾습니다.

$x_1 = \frac{a}{a+b}\frac{m}{p_1} \\ x_2= \frac{b}{a+b}\frac{m}{p_2}$

와 : 상품의 가격; : 예산$p_i$$m$

나는 그들 모두를 테스트했으며 동일한 결과를 얻었습니다.
차이점이 있습니까?

이므로 방정식은 정확히 같습니다. 세 번째와 네 번째 방정식에서 을 로 바꾸면 첫 번째와 두 번째 방정식이 나타납니다.$a + b=1$$a+b$$1$

이것이 첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식으로가는 방법입니다. 당신의 효용 함수는 부터 나는 약간 변경거야, 그리고 (1-a)는이 두 가지 선택을 최적화하기 위해, 당신은 유틸리티를 극대화 할 필요가 , 선택 변수를 작성하십시오.$u(x_1, x_2)=x_1^a x_2^b$$a+b=1$

Walras Law를 사용하여 적용됩니다 . 기본적으로, 유틸리티를 최적화하기 위해 모든 돈이 소비됩니다.$p_1x_1 + p_2x_2 = w$

Cobb-Douglas 기능은 일반적으로 최적화 문제로 어렵습니다. 함수의 서수 속성을 유지하는 단조로운 변환을 사용할 수 있습니다.

$aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2)$

대신 사용됩니다. 동일한 예산 제약이 적용됩니다.

라그랑주 및 1 차 주문 조건은 다음과 같습니다

$L = aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2) − \lambda(w − p_1x_1 − p_2x_2)$

$\frac{δL} {δx_1}= \frac{a} {x_1} − \lambda p_1 = 0$

$\frac {δL} {δx_2}=\frac{1 − a} {x_2} − \lambda p_2 = 0$

1 차 조건을 조작하면

$\lambda = \frac{a} {x_1p_1}$

$\lambda =\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

$\frac{a} {x_1p_1}=\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

예산 제약 조건 대체$p_2x_2 = w − p_1x_1$

$\frac{a}{ x_1p_1}=\frac{(1 − a)} {w − p_1x_1}$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

과

$p_1x_1 = w − p_2x_2$

$\frac{a} {w − p_2x_2}=\frac{(1 − a)}{ p_2x_2}$

$w =\frac{a}{(1 − α)}p_2x_2 + p_2x_2$

$w(1 − a) = p_2x_2$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

이러한 결과를 사용 하여 주어진 가격, 자산 조합에 대해 및 의 최적 소비 번들을 해결할 수 있습니다 .$x_1$$x_2$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$