독점은 어떤 수요 기능에 가장 해로운가?

한계 비용이없는 회사를 생각해보십시오. 제품이 무료로 제공되면 모든 요구가 충족되고 사회 복지가 가능한 최대 금액만큼 증가합니다. 이 증가 전화$W$.

그러나 회사는 독점이기 때문에 수익을 최적화하기 위해 수요를 줄이고 가격을 올립니다. 이제 사회 복지가 조금씩 증가합니다.$V$.

복지의 상대적 손실 (무게 손실)을 다음과 같이 정의하십시오. $W/V$. 이 비율은 수요 함수의 형태에 따라 다릅니다. 내 질문은 :이 비율이 제한되어 있습니까, 아니면 임의로 클 수 있습니까? 특히:

• 만약 $W/V$ 어떤 수요 함수에 대해 최대화됩니까?
• 만약 $W/V$ 어떤 수요 기능 군이 임의로 커질 수 있는가?

여기까지 내가 시도한 것이 있습니다. 허락하다$u(x)$소비자의 한계 효용 함수 (역 수요 함수) 그것이 유한하고, 매끄럽고, 단조 감소하고, 도메인으로 스케일링되었다고 가정하자$x\in[0,1]$. 허락하다$U(x)$반 유도제입니다. 그때:

• $W = U(1)-U(0)$아래의 총 면적 $u$.
• $V = U(x_m)-U(0)$, 어디 $x_m$독점에 의해 생성 된 양입니다. 아래 영역입니다$u$ "무손실 손실"부분을 제외하고.
• $x_m = \arg \max (x \cdot u(x))$ = 생산자의 수입을 최대화하는 수량 (표시된 사각형).
• $x_m$ 은 보통 1 차 조건을 사용하여 계산할 수 있습니다 : .$u(x_m) = -x_m u'(x_m)$

작동 방식을 하기 위해 일부 기능 군을 시도했습니다.$W/V$

보자 . 여기서 은 매개 변수입니다. 그때:$u(x)=(1-x)^{t-1}$$t>1$

• $U(x)=-(1-x)^{t}/t$ 입니다.
• 1 차 조건은 합니다.$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = 1/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-(\frac{t-1}{t})^{t})/t$
• $W/V=1/[1-(\frac{t-1}{t})^{t}]$

경우 , , 그래서 가족, 묶여있다.$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

그러나 다른 가족들은 어떻게됩니까? 또 다른 예는 다음과 같습니다.

보자 . 여기서 은 매개 변수입니다. 그때:$u(x)=e^{-t x}$$t>0$

• $U(x)=-e^{-t x}/t$ 입니다.
• 1 차 조건은 합니다.$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = (1-e^{-t})/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-e^{-1})/t$
• $W/V=(1-e^{-t})/(1-e^{-1})$

경우 , 다시 하므로 여기서 다시, 묶여있다.$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

그리고 세 번째 예는 수치 적으로 해결해야했습니다.

보자 . 여기서 는 매개 변수입니다. 그때:$u(x)=\ln(a-x)$$a>2$

• $U(x)=-(a-x)log(a-x)-x$ .
• 1 차 조건은 합니다. 이 사용 desmos 그래프를 , 그 발견 . 물론이 솔루션은 ; 그렇지 않으면 우리는 을 얻게 사장 손실이 없습니다.$x_m=(a-x_m)\ln(a-x_m)$$x_m \approx 0.55(a-1)$$0.55(a-1)\leq 1$$x_m=1$
• 동일한 그래프를 사용하여 가 로 감소 하고 있음을 알았 으므로 일 때의 최고 값 은 약 1.3입니다.$W/V$$a$$a=2$

가 무한대로 성장할 수 있는 또 다른 유한 함수 계열이 있습니까?$W/V$

수요 곡선에서 임의로 큰 비율이 발생해야한다

$P=\begin{cases} \frac{1}{Q} & \text{if } Q>1 \\ 2-Q & \text{if } Q\leq 1 \\ \end{cases}$ .

수요 곡선 아래에 가 포함되어 있기 때문에 독점 가격은 이지만 이 무한대 이면 소비자의 잉여금 입니다.$P=1$$P=0$$\int_1^\infty \frac{1}{Q}dQ=\infty$