이유는 무엇입니까

두 개의 상품 및 와 관련 가격 및 가 있다고 가정 합니다. 소득 . 는 Hicksian 수요이고 은 Marshallian 수요입니다.y p x p y m x H x $x$$y$$p_x$$p_y$$m$$x^H$$x^M$

슬 루츠 키 방정식 :

$$\frac{\partial x^M}{\partial p_x} = \frac{\partial x^H}{\partial p_x} -\frac{\partial x^M}{\partial m} x^M$$

탄력성 버전 :

$$\varepsilon_{x,p_x}^M = \varepsilon_{x,p_x}^H - \eta_x s_x$$

$$s_x = \frac{p_x x}{m}$$

교수님은 하지만 요청을해도 증거를 제시하지 않았습니다. 내 TA도 제공 할 수 없습니다.

$$\varepsilon_{x,p_x}^H =-s_y \sigma$$

$\sigma$ 는 치환의 탄력성입니다

내 질문:

누군가 왜 보여줄 수 있습니까 ?$\varepsilon_{x,p_x}^H =-s_y \sigma$

먼저 치환 의 탄력성을 정의해야합니다 . 이것은 어렵고 혼란스러운 개념 일 수 있습니다. (마음이 부풀어 오르길 원한다면, Stern의이 설문 에서 표 2를보십시오 . 대체 탄성의 10 개 이상의 개념을 분류합니다!).$\sigma$

즉, 교수가 언급 한 공식은 두 개의 제품이있을 때만 유효하므로 우리는 우리가 두 가지 좋은 사례로 제한한다고 가정합니다. 그리고 거기에서 대체의 탄력성을 정의하는 것이 가장 중요합니다. 부분) 모호하지 않은. 먼저 와 의 한계 유틸리티 비율과 양의 비율에 대한 역 탄력성을 (빼기)로 정의 하고 전체 유틸리티 수준을 일정한 : 곡률을 측정합니다. 와 사이의 무차별 곡선 : 더 높은 (즉, 더 치환 가능한)$x$$y$$u$

$$\sigma\equiv - \left.\left(\frac{\partial \log(U_x/U_y)}{\log(x/y)}\right)^{-1}\,\right|_{U=u}$$ $x$$y$$\sigma$$x$ 와 는), 무차별 곡선이 직선에 가까울수록.$y$

이제 Hicksian 수요는 무차별 곡선에있는 지출을 최소화합니다. 여기에는 한계 유틸리티 비율을 가격 비율과 동일하게 설정하는 것이 포함됩니다. 따라서 를 (빼기) 상대 가격에 대한 상대 Hicksian 수요의 탄력성 : 분모는 상대적으로 가격이 있기 때문에 , 우리가 높여, 말 (이 상대 가격을 변경하는 방법에 의존하지 않는 낮추는 대 ). 이제 우리가 제기하고 있다고 가정하자 한 다음 사용

$$U_x(x^H,y^H)/U_y(x^H,y^H)=p_x/p_y$$ $\sigma$ $$\sigma=-\frac{\partial \log(x^H(p,u)/y^H(p,u))}{\log(p_x/p_y)}\tag{1}$$ $p_x/p_y$$p_x$$p_y$$p_x$$\varepsilon$단순성을위한 탄력성 표기법 : 이 시점에서 우리는 Hicksian 수요에 대한 간단한 정체성을 가져옵니다. 공유는 (증명 아래 포함)는 0이다 때문에 , 우리는 다시 쓸 수있다 (3 )를 그러나 (4)에서 괄호 안에있는 용어는 대체 의 탄력성입니다. $$\sigma=-\frac{\partial \log(x^H(p,u)/y^H(p,u))}{\log(p_x)}=\varepsilon^H_{y,p_x}-\varepsilon^H_{x,p_x}\tag{2}$$ $$s_x\varepsilon^H_{x,p_x}+s_y\varepsilon^H_{y,p_x}=0\tag{3}$$ $s_x=1-s_y$ $$(1-s_y)\varepsilon^H_{x,p_x}+s_y\varepsilon^H_{y,p_x}=s_y\cdot(\varepsilon^H_{y,p_x}-\varepsilon^H_{x,p_x})+\varepsilon^H_{x,p_x}=0\tag{4}$$ $\sigma$(2)에서 보듯이 재 배열을 통해 교수님의 를 원하는대로 . $$\varepsilon^H_{x,p_x}=-s_y\sigma$$

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(3)의 증거 . 우리는 소득을 일정하게 유지하면서 마샬 리아의 지출은 가격 변동 후에도 일정하게 유지되어야한다는 것을 알고 있습니다. 대한 에 대한 지출의 탄력성 은 (가격 및 수량 변경 조합)이며, 대한 에 대한 지출의 탄력성 은 . 초기 공유에 의해 가중치가 부여되면이 값의 합은 0이어야합니다. 탄성 Slutsky 방정식을 대체하면 일단 우리가$x$$p_x$$1+\varepsilon^M_{x,p_x}$$y$$p_x$$\varepsilon^M_{y,p_x}$

$$s_x(1+\varepsilon^M_{x,p_x})+s_y\varepsilon^M_{y,p_x}=0$$ η x s x + η y s y = 1 - s x s x s x ε H x , p x + s y ε H y , p x = $$s_x + s_x(\varepsilon^H_{x,p_x}-\eta_xs_x)+s_y(\varepsilon^H_{x,p_x}-\eta_ys_x)=0$$ $\eta_xs_x+\eta_ys_y=1$ 하는 갖는다 (소득 전체 지출 비례 확대 확장 됨) 아웃 취소 , 전면 및 감소 단지 (3) : 입니다. 이것은 Hicksian 수요를 지배하는 매우 중요한 정체성입니다. 우리가 가격을 변경함에 따라, 오래된 가격 에서 Hicksian 수요의 비용을 먼저 주문하려면 일정하게 유지해야합니다 (이는 "보상 된"수요와 관련이 있습니다. 이전 가격과 동일).$-s_x$$s_x$ $$s_x\varepsilon^H_{x,p_x}+s_y\varepsilon^H_{y,p_x}=0\tag{3}$$