이전 연구자들은 단순히 통계적 오류로 인해 뜨거운 손을 감지하지 못했습니까?

많은 농구 팬 / 플레이어는 연속으로 몇 번의 샷을했을 때 다음 샷이 들어갈 가능성이 더 높다고 생각합니다. 이것을 때때로 핫 핸드라고합니다.

Gilovich, Mallone 및 Tversky (1985)를 시작으로 (제 생각에) 이것이 사실 오류 인 것으로 나타났습니다. 연속으로 여러 장의 샷이 들어간 경우에도 다음 샷은 평균 촬영 비율이 지시하는 것보다 더 이상 들어 가지 않습니다.

Miller와 Sanjurjo (2015) 는 핫 핸드가 실제로 존재하고 있으며 이전 연구자들은 단순히 기본적인 통계적 오류에 노출되어 있다고 주장했다. 그들의 주장은 다음과 같습니다.

동전을 네 번 뒤집습니다. H가 H를 따르는 확률을 계산합니다. 몇 가지 예를 들면 다음과 같습니다. HHTT의 확률은 1/2이고, HTHT의 확률은 0/2이고, TTHH의 확률은 0/1 1/1이며, TTTT와 TTTH는 NA입니다.

Miller와 Sanjurjo의 펀치 라인은이 확률의 예상 값이 0.5가 아니라 ≈0.4라는 것입니다. 그리고 이전 연구자들의 실수는이 확률의 예상 값이 0.5라고 잘못 가정 한 것이 었습니다. 예를 들어, 이전의 연구자들이 위의 동전 던지기 실험을 수행하고 평균 확률이 0.497이라고 말한 경우, 실제로는 매우 높을 때 뜨거운 손 (0.5와 크게 다르지 않음)의 증거가 없다고 잘못 판단했습니다. 뜨거운 손의 강력한 증거 (0.4와 상당히 다름).

제 질문은 이것입니다 : 밀러와 Sanjurjo는 이전의 연구원들이이 실수 때문에 단순히 뜨거운 손을 감지하지 못했다고 맞습니까? 나는 이것에 대해 한두 장의 논문을 훑어 보았 으므로이 문헌을 더 잘 알고 있을지도 모르는 누군가의 확인을 얻고 싶었습니다. 이것은 30 년 이상 지속 된 놀라운 바보 같은 것 같습니다.

(이 답변은 2017 년 7 월에 명확성과 가독성을 높이기 위해 완전히 다시 작성되었습니다.)

동전을 연속 100 회 뒤집습니다.

$\hat{p}(H|3T)$$\hat{p}(H|3H)$

$x:=\hat{p}(H|3H)-\hat{p}(H|3T)$

코인 플랩이 iid 인 경우 100 개의 코인 플랩 시퀀스에서 "분명히"

$x>0$$x<0$

$E(X)=0$

100 코인-플립의 백만 시퀀스를 생성하고 다음 두 가지 결과를 얻습니다.

$x>0$$x<0$

$\bar{x} \approx 0$$\bar{x}$$x$

그래서 우리는 동전 던지기가 실제로 iid이며 뜨거운 손의 증거가 없다는 결론을 내립니다. 이것이 바로 GVT (1985)가 한 일입니다 (그러나 동전 던지기 대신 농구 샷으로). 그리고 그들이 뜨거운 손이 존재하지 않는다고 결론을 내 렸습니다.

펀치 라인 : 놀랍게도 (1)과 (2)가 올바르지 않습니다. 동전 던지기가 iid 인 경우 대신

$x>0$$x<0$$x=0$$x$

$E(X) \approx -0.08$

관련된 직관 (또는 반 직관)은 Monty Hall 문제, 두 소년 문제 및 제한된 선택 원칙 (카드 게임 브리지)과 같은 다른 유명한 확률 퍼즐과 비슷합니다. 이 답변은 이미 충분히 길기 때문에이 직관에 대한 설명은 생략하겠습니다.

따라서 GVT (1985)가 얻은 바로 그 결과 (I)와 (II)는 실제로 뜨거운 손을 선호하는 강력한 증거입니다. 이것이 Miller와 Sanjurjo (2015)가 보여준 것입니다.

GVT의 표 4에 대한 추가 분석

많은 (예를 들어 아래 @scerwin)은 GVT (1985)를 읽는 것을 귀찮게하지 않고, "훈련 된 통계학자가이 맥락에서 평균의 평균을 취할 것"이라는 불신을 표명했다.

그러나 이것이 바로 표 4에서 GVT (1985)가 한 일입니다. 표 4, 열 2-4 및 5-6, 맨 아래 행을 참조하십시오. 그들은 평균적으로 26 명의 선수들 사이에서

$\hat{p}(H|1M) \approx 0.47$$\hat{p}(H|1H) \approx 0.48$

$\hat{p}(H|2M) \approx 0.47$$\hat{p}(H|2H) \approx 0.49$

$\hat{p}(H|3M) \approx 0.45$$\hat{p}(H|3H) \approx 0.49$

$k=1,2,3$$\hat{p}(H|kH)>\hat{p}(H|kM)$

그러나 평균의 평균을 취하는 대신 (어떤 사람들은 믿을 수 없을 정도로 어리석은 움직임), 분석을 다시 실행하고 26 명의 선수 (일부 예외를 제외하고 100 샷)를 집계하여 다음과 같은 가중치 평균 표를 얻습니다.

Any                     1175/2515 = 0.4672

3 misses in a row       161/400 = 0.4025
3 hits in a row         179/313 = 0.5719

2 misses in a row       315/719 = 0.4381
2 hits in a row         316/581 = 0.5439        

1 miss in a row         592/1317 = 0.4495
1 hit in a row          581/1150 = 0.5052

예를 들어,이 테이블은 26 명의 선수가 총 2,515 발의 총을 쏘았으며 그 중 1,175 또는 46.72 %가 만들어졌다.

플레이어가 연속 3 회 연속 400 명을 기록한 161 명 또는 40.25 %가 즉시 타격을 받았습니다. 그리고 플레이어가 3 연승 313 건 중 179 명 또는 57.19 %가 즉시 명중했다.

위의 가중 평균은 뜨거운 손을 선호하는 강력한 증거 인 것 같습니다.

사격 실험은 각 선수가 대략 50 %의 사격을 할 수있는 것으로 결정된 곳에서 사격하도록 설정되었다는 점을 명심하십시오.

(참고 : Sixers의 게임 내 슈팅과 매우 유사한 분석을 위해 표 1에서 "이상하게"충분히 GVT는 대신 가중 평균을 제시합니다. 따라서 표 4에서도 같은 결과를 얻지 못한 이유는 무엇입니까? 표 4에 대한 가중 평균을 계산 했음이 확실합니다. 위에서 제시 한 숫자는 내가 본 것을 좋아하지 않았으며이를 억제하기로 선택했습니다. 이런 종류의 행동은 불행히도 학계 과정에 필적합니다.)

$HHHTTTHHHHH…H$$\hat{p}(H|3T)=1/1=1$

$\hat{p}(H|3H)=91/92 \approx 0.989$

PS GVT (1985) 표 4에는 몇 가지 오류가 있습니다. 나는 적어도 두 개의 반올림 오류를 발견했다. 또한 선수 10의 경우, 4 열과 6 열의 괄호 값은 5 열의 값보다 1을 더하지 않습니다 (하단의 음표와 달리). 나는 Gilovich에게 연락했다 (Tversky는 죽었고 Vallone은 확실하지 않다). 그러나 불행히도 그는 더 이상 원래의 히트와 미스 시퀀스를 가지고 있지 않습니다. 표 4는 우리가 가진 전부입니다.

(면책 조항 : 나는이 문헌을 모른다.) Miller와 Sanjurjo는 특정 통계 수단에 대한 유효한 비판을 가지고있는 것 같습니다. 나는이 특정 조치에만 초점을 맞추기 때문에 핫 핸드 효과에 대한 모든 이전 작업을 무효화하는 것으로 간주되어야하는지 모르겠습니다.

측정은

$M$$\mathbb{E} M > 0$$\mathbb{E} M = 0$

$\mathbb{E} M < 0$$M$

$M$

두 논문 중 어느 것도 통계의 적용에 관해 충분히 명확하지 않으므로이 답변에서 설명을 시도 할 것입니다.

Gilovich, Mallone 및 Tversky (1985) 자신의 초록은 정의 다음과 같이 "핫 핸드 효과"

" 농구 선수들과 팬들은 모두 한 번의 타격을 가할 확률이 이전 샷에서 한 번의 미스를 따르는 것보다 더 큰 타격을받는다고 믿는 경향이 있습니다. "

$k$$H_k$$k$$M_k$

소형화를 위해, 해당 샷은 연속적인 히트 또는 누락 직후의 샷인 것으로 이해된다. 이것들은 조건부 상대적인 경험적 주파수가 아니라 이론적 인 조건부 확률 (즉 상수)입니다.

$\hat P(H \mid H_k) ,\; \hat P(H\mid M_k)$

$P(H)$

$T\equiv \hat P(H \mid H_k) - \hat P(H\mid M_k)$

$T$

$T$

따라서 Gilovich et al. 종이, 그것은 Hot-Hand의 정의가 아니며, 귀무 가설의 공식화가 아니며, 사용할 통계의 선택이 아닙니다 : 테스트를 실행하는 데 사용되는 임계 값의 유효성입니다 ( (암시 적 가설 하에서) 유한 한 소 표본 분포는 실제로 0에 중심에 있지 않고 비대칭 적이다.

이러한 경우 일반적으로 테스트를 수행하기 위해 특수 임계 값을 시뮬레이션하여 얻는 것입니다 (예 : 단위 루트에 대한 Dickey-Fuller 테스트의 특수 임계 값을 기억하십시오). Miller-Sanjurjo 논문에서 이러한 접근 방식을 보지 못했습니다. 대신에 "평균 바이어스 조정"을 수행하고이 조정 후 테스트의 결론이 반대라는 것을 알게되었습니다. 나는 이것이 갈 길이 확실하지 않습니다.

$200$$n=100$$p=0.5$
$T_3 = \hat P(H \mid H_3) - \hat P(H\mid M_3)$$-0.0807$$-0.072$$62.5\%$값이 음수입니다. 경험적 히스토그램은

제 생각에 Miller와 Sanjurjo는 단순히 표 1의 상대 주파수를 잘못 계산했습니다. 그들의 표는 두 개의 새로운 열이 추가 된 상태로 아래에 표시되어 있으며, 이는 4 개의 코인 플립의 각 시퀀스 내에서 발생하는 하위 시퀀스 HH 및 HT의 수를 계산합니다. 원하는 조건부 확률 p (H | H)를 얻으려면 이러한 카운트 N (HH)와 N (HT)을 합한 다음 아래와 같이 나눕니다. 이렇게하면 예상대로 p (H | H) = 0.5가됩니다. 어떤 이유로 Miller와 Sanjurjo는 먼저 각 시퀀스의 상대 주파수를 계산 한 다음 시퀀스 평균을 계산했습니다. 그건 잘못이야

Sequence     Subsequences       N(HH) N(HT)    p(H|H)
TTTT  ->  TT.. , .TT. , ..TT      0     0        -  
TTTH  ->  TT.. , .TT. , ..TH      0     0        -  
TTHT  ->  TT.. , .TH. , ..HT      0     1       0.0 
THTT  ->  TH.. , .HT. , ..TT      0     1       0.0 
HTTT  ->  HT.. , .TT. , ..TT      0     1       0.0 
TTHH  ->  TT.. , .TH. , ..HH      1     0       1.0 
THTH  ->  TH.. , .HT. , ..TH      0     1       0.0 
THHT  ->  TH.. , .HH. , ..HT      1     1       0.5 
HTTH  ->  HT.. , .TT. , ..TH      0     1       0.0 
HTHT  ->  HT.. , .TH. , ..HT      0     2       0.0 
HHTT  ->  HH.. , .HT. , ..TT      1     1       0.5 
THHH  ->  TH.. , .HH. , ..HH      2     0       1.0 
HTHH  ->  HT.. , .TH. , ..HH      1     1       0.5 
HHTH  ->  HH.. , .HT. , ..TH      1     1       0.5 
HHHT  ->  HH.. , .HH. , ..HT      2     1       0.66
HHHH  ->  HH.. , .HH. , ..HH      3     0       1.0 
                                 --    --       ----
                                 12    12       0.40
                            p(H|H)=N(HH)/N(H*)
                                  =12/(12+12)
                                  =0.5

관찰 된 순서에서, 마지막 조건은 이후에 값이 없다는 의미에서 "누락"입니다. 저자는 이것이 발생하는 경우를 무시하고 정의되지 않았다고 말함으로써이를 처리합니다. 계열이 짧으면이 선택이 계산에 명백한 영향을 미칩니다. 그림 1은이 아이디어를 잘 보여줍니다.

위에서 작성한 의견을 답변으로 변경하고 원래 질문에 대한 답변은 원본 논문이 정확하다고 주장합니다. 2015 년 논문의 저자는 주석에 설명 된대로 논리적으로 분석에 포함되어야하는 시퀀스를 폐기하므로 주장을 뒷받침하는 편견을 소개합니다. 세상은 정상적으로 작동합니다.

의견에 대한 부록 : 우리는 논문의 표 1을 봅니다. 우리는 마지막 열에서 4 개의 값을 버리는 것을 보았습니다. 따라서 예상되는 차이를 얻으려면 16 시퀀스 중 12 개 이상의 평균에 불과합니다. 이러한 확률을 주파수로보고 첫 번째 라인 TTTT에 대해 헤드가 헤드를 따르는 주파수는 무엇이고 논리적으로 항상 발생하므로 p (H, H에 1을 넣어야합니다. ) 열이 아닌 대시입니다. 우리는 다른 세 가지 시퀀스에 대해이를 수행했으며, 차이의 예상 값은 -.33이 아니라 0이라는 결론을 내 렸습니다. 데이터에 대한 명확한 논리적 해석이있을 때 그러한 데이터를 버릴 수는 없습니다.

드리프트를 소멸시키기 위해, 우리는 확률을 정확하게 계산해야합니다. 표의 확률은 "머리가 꼬리를 따라갈 확률,이 주어진 순서대로 4 번의 토스"로 주장됩니다. 그리고 우리는 행 TTTH에 대해 확률이 1/3이라고 믿어야합니다. 그렇지 않습니다. 줄에 네 개의 토스가 있고 그 행에있는 네 개의 토스 중 하나는 "머리가 꼬리를 따른다"이벤트입니다. 확률은 1/4입니다. 따라서 확률을 정확하게 계산하고 모든 행을 사용하면 30 년 동안 받아 들여진 답변을 얻을 수 있습니다.