복권의 유틸리티 대표

우리는 더 큰 정리로 이끄는 학급의 정리를 밟았습니다. 렘마 상태 :

하자 에 합리적인 환경과 관련 될 및하자 폰 - 노이만 - 모겐 스턴의 기대에 따라 유틸리티 표현을 인정한다. 그때 $\succeq$ $\mathscr{L}$ $\succeq$

$U(\sum_{k=1}^{K} \alpha_k L_k) = \sum_{k=1}^{K} \alpha_k \ U(L_k)$

충족 $\succeq$

모든 선형 표현 $V$ 의 $\succeq$ 긍정적 인 아핀 변환 $U$ . 따라서 $V = \beta U + \gamma$ 여기서 $\beta > 0$

이를 증명하기 위해 지금까지 몇 가지 작업이 있습니다.

하자 -Neumann-Morgenstern에 의해 , 여기서 $L_k = (\Pi^k_1, \Pi^k_2, ..., \Pi_s^k)$

U (\sum_{k = 1}^{K} α_{k} L_{k}) = \sum_{i = 1}^{s} \sum_{k = 1}^{K} Π_{i}^{k} α_{k} u_{i}

$U(\sum_{k=1}^{K} \alpha_k L_k) = \sum^s_{i=1}\sum^K_{k=1}\Pi^k_i \alpha_k u_i$

U (L) = \sum_{i = 1}^{s} Π_{i} u_{i}

$U(L) = \sum^s_{i=1}\Pi_i u_i$

\sum_{i = 1}^{s} \sum_{k = 1}^{K} Π_{i}^{k} α_{k} u_{i} = \sum_{k = 1}^{K} α_{k} \sum_{i = 1}^{s} Π_{i}^{k} u_{i} = \sum_{k = 1}^{K} α_{k} U (L_{k})

$\sum^s_{i=1}\sum^K_{k=1}\Pi^k_i \alpha_k u_i = \sum^K_{k=1} \alpha_k \sum^s_{i=1}\Pi^k_i u_i = \sum_{k=1}^{K} \alpha_k \ U(L_k)$

2 :

$L_1, L_2, L_3 \in \mathscr{L}$ $L_1 \succeq L_2$

$L_1 \succeq L_2 \iff U(L_1) \geq U(L_2)$

$\alpha \in (0,1)$

L_{4} = α L_{1} + (1 - α) L_{3}

$L_4 = \alpha L_1 + (1-\alpha)L_3$

L_{5} = α L_{2} + (1 - α) L_{3}

$L_5 = \alpha L_2 + (1-\alpha)L_3$

$L_5 \succ L_4$

$\implies U(L_5) > U(L_4)$

U (L_{5}) = α U (L_{2}) + (1 - α) U (L_{3})

$U(L_5) = \alpha U(L_2) + (1-\alpha) U(L_3)$

U (L_{4}) = α U (L_{1}) + (1 - α) U (L_{3})

$U(L_4) = \alpha U(L_1) + (1-\alpha) U(L_3)$

⟹ α U (L_{2}) + (1 - α) U (L_{3}) > α U (L_{1}) + (1 - α) U (L_{3}) ⟹ U (L_{2}) > U (L_{1})

$\implies \alpha U(L_2) + (1-\alpha) U(L_3) > \alpha U(L_1) + (1-\alpha) U(L_3) \implies U(L_2) > U(L_1)$

모순이므로 독립성을 유지해야합니다.

3은 일종의 "단 음성"조건이라고 가정합니다. 이 조건에 대한 증거에 어떻게 접근합니까? 모든 힌트를 주시면 감사하겠습니다. 또한이 Lemma가 무엇을하는지 궁금해서 미리 공부할 수 있습니다. 누구든지 어떤 아이디어가 있습니까?

microeconomics utility preferences

— 키츠 네 기병대
소스

≿

$\succsim$

그래서 세 번째 조건에 대한 증거를 알았으니 알 수 있습니다.

만약 와 가 에서 의 선형 표현 , 와 같이 $U$ $V$ $\succeq$ $\mathscr{L}$ $\exists \ \beta > 0, \gamma \in \mathbb{R}$ $V = \beta U + \gamma$

사례 1 : 모든 복권이 모두 똑같이 선호됩니다.

경우 우리는 또한이 한 후, 일정하다. $\forall \ L_1, L_2 \in \mathscr{L}$ $L_1 \sim L_2$ $U$

$V = \beta U$ 는 $\forall \beta > 0, \gamma > 0$

사례 2 : 모든 복권은 똑같이 선호되지 않습니다.

$\forall L \in \mathscr{L}$ 여기서 $L \neq L_b, L_w$

L_{b} ⪰ L ⪰ L_{w}

$L_b \succeq L \succeq L_w$

L_{b} ≻ L_{w}

$L_b \succ L_w$

복권 경우 $L \in \mathscr{L}$

λ_{L} \equiv \frac{U (L) - U (L_{w})}{U (L_{b}) - U (L_{w})}

$\lambda_L \equiv \frac{U(L) - U(L_w)}{U(L_b) - U(L_w)}$

위한 $\lambda \in [0,1]$

1 - λ_{L} \equiv \frac{U (L_{b}) - U (L)}{U (L_{b}) - U (L_{w})}

$1 - \lambda_L \equiv \frac{U(L_b) - U(L)}{U(L_b) - U(L_w)}$

이제 과 같이 있습니다. $U(L), \ \forall L \in \mathscr{L}$

U (L) = λ_{L} U (L_{b}) + (1 - λ_{L}) U (L_{w})

$U(L) = \lambda_L U(L_b) + (1-\lambda_L)U(L_w)$

⟹ L \sim λ_{L} L_{b} + (1 - λ_{L}) L_{w}

$\implies L \sim \lambda_L L_b + (1-\lambda_L)L_w$

들어 또한 대표하는 , $V$ $\succeq$

V (L) = λ_{L} V (L_{b}) + (1 - λ_{L}) V (L_{w})

$V(L) = \lambda_L V(L_b) + (1-\lambda_L)V(L_w)$

V (L) = [\frac{U (L) - U (L_{w})}{U (L_{b}) - U (L_{w})}] V (L_{b}) + [\frac{U (L_{b}) - U (L)}{U (L_{b}) - U (L_{w})}] V (L_{w})

$V(L) = \bigg[\frac{U(L) - U(L_w)}{U(L_b) - U(L_w)}\bigg] V(L_b) + \bigg[\frac{U(L_b) - U(L)}{U(L_b) - U(L_w)}\bigg] V(L_w)$

V (L) = \frac{U (L) V (L_{b}) - U (L_{w}) V (L_{b})}{U (L_{b}) - U (L_{w})} + \frac{U (L_{b}) V (L_{w}) - U (L) V (L_{w})}{U (L_{b}) - U (L_{w})}

$V(L) = \frac{U(L)V(L_b) - U(L_w)V(L_b)}{U(L_b) - U(L_w)} + \frac{U(L_b)V(L_w) - U(L)V(L_w)}{U(L_b) - U(L_w)}$

V (L) = \frac{V (L_{b}) - V (L_{w})}{U (L_{b}) - U (L_{w})} \cdot U (L) + \frac{U (L_{b}) V (L_{w}) - U (L) V (L_{b})}{U (L_{b}) - U (L_{w})}

$V(L) = \frac{V(L_b) - V(L_w)}{U(L_b) - U(L_w)} \cdot U(L) + \frac{U(L_b)V(L_w) - U(L)V(L_b)}{U(L_b) - U(L_w)}$

정의 및 $\frac{V(L_b) - V(L_w)}{U(L_b) - U(L_w)} \equiv \beta$ $\frac{U(L_b)V(L_w) - U(L)V(L_b)}{U(L_b) - U(L_w)} \equiv \gamma$

따라서 , $V(L) = \beta U(L) + \gamma$ $\forall L$

$\square$

— 키츠 네 기병대
소스