왜 정현파 입력이있는 수동 회로에서 모든 전압과 전류가 입력과 동일한 정현파 동작을 갖습니까?

선형 수동 소자와 정현파 입력으로 구성된 회로에서 모든 소자를 통과하는 모든 전압과 전류는 입력과 동일한 정현파 거동과 주파수를 나타냅니다. 이것이 수동 필터가 실제로 작동하는 방식입니다. 그러나 나는 이것이 명백한 관찰이 아니라면 왜 이런 일이 발생하는지에 대한 구체적 / 직접적인 증거를 파악하거나 찾을 수 없습니다.

나는 내 두뇌를 쏟아 부었고 결국 이것을 증명하기위한 훌륭한 수학적 접근법을 발견하고 내 자신의 질문에 대답하기로 결정했습니다. 이러한 회로에서 구성 요소를 가로 질러 / 구성 요소를 통해 모든 전압 / 전류를 해결하면 (나는 라고 부릅니다 ) 항상 상수 계수 (패시브 구성 요소의 선형 특성으로 인해)로 선형 인 미분 방정식을 구성하게됩니다. (정현파 입력으로 인해) 비균질. 이러한 미분 방정식은 항상 형태를 취할 것이다 D N$f$여기서a. . . k는 상수 (인덕턴스, 저항 등의 조합)이고,n은 미분 방정식의 순서 (회로의 에너지 저장 요소 수를 반영)이며Csin(ωt+θ)은 일반화 된 정현파 함수입니다. 입력을 설명합니다. 이 미분 방정식에 대한 일반적인 해는 항상 다음과 같은 형태를 취합니다 :f=

$$a\frac{d^nf}{dt^n}+b\frac{d^{n-1}f}{dt^{n-1}}+...+j\frac{df}{dt}+kf=C\sin{(\omega t+\theta)}$$ $a...k$$n$$C\sin{(\omega t+\theta)}$ 특정 솔루션 = A sin ( ω t + θ ) + B cos ( ω t + θ ) 는 같은 주파수의 정현파 함수입니다! 이제 AC 회로 분석에서 균일 한 솔루션이 0에 가까워지면 회로의 저항 상태 때문에 불가피하게 발생하는 회로를 항상 정상 상태로보고 있습니다. $$f=\text{(general homogeneous solution)}+\text{(particular solution)}$$ $=A\sin{(\omega t+\theta)}+B\cos{(\omega t+\theta)}$

이것은 LTI (Linear Time-Invariant) 회로 에만 해당됩니다. 이상적이지 않은 구성 요소가 있고 (모두 1도 또는 그 이상인 경우) 출력에 입력 주파수의 고조파가 표시됩니다. 인덕터는 로트 중에서 가장 나쁜 경향이 있지만 모든 수동 부품에는 이러한 동작이 있습니다. 예를 들어, 커패시터는 강한 전압 계수를 나타낼 수 있으며 유전 흡수로 인해 시간이 변하지 않습니다.

간단한 (대략 2 학년 대학 수학 지식을 전제로 가정) 수학 증명을 위해이 버클리 코스 (EECS20N : 신호 및 시스템) 노트를 읽을 수 있습니다 . 여기 에서 전체 텍스트를 다운로드 할 수 있습니다 .

사인파는 주파수 스펙트럼의 한 줄에 불과하므로 선형 필터 또는 증폭기를 사용하여 무엇을하든 위상 또는 진폭이 이동하기 만하면됩니다.

그것이 구형파 (무한 고조파) 인 경우, 필터를 적용하면 다른 주파수보다 더 많은 주파수를 감쇠 시키거나 가속시킬 수 있으며, 구형파는 인식 할 수있는 구형을 잃게됩니다.

구형파 고조파 :-

GIF 소스

기본적인 이유는 이상적인 R, L 및 C 성분의 구성 방정식은 미분과 적분 (선형 연산) 만 포함하는 선형의 시간 불변 방정식이며 이러한 선형 연산자에 대해 작용할 때 사인 및 코사인이 다른 사인 및 코사인으로 변경되기 때문입니다.

정현파 함수의 미분과 적분은 동일한 주파수의 또 다른 정현파 함수입니다 (진폭과 위상 만 변할 수 있음). KCL과 KVL은 이러한 정현파 함수의 대수적 합으로 이어질 수 있으며, 그 연산은 다른 정현파 함수 만 생성 할 수 있습니다. 따라서 결국 네트워크에서 R, L 및 C를 연결하면 정현파 입력이 항상 정현파 출력으로 이어집니다.

내 다른 답변은 여기를 참조 하십시오 .

이 모든 것은 지수 함수의 자기 유사성의 직접적인 결과입니다 (Euler의 방정식에 의한 사인 및 코사인과 관련됨). Giorgi의 첫 번째 장인 Waves of Waves 를 읽고 이에 대한 완전한 설명을 얻을 수 있습니다.

$t=-\infty$$t=+\infty$$A \ x = \lambda \ x$$\lambda$는 감쇠 및 위상 편이에 대한 정보를 전달하는 복잡한 스칼라입니다.)를 시스템의 고유 한 솔루션 또는 고유 한 솔루션이라고합니다. 그것들은 다른 (잘 동작하는) 기능이 그러한 초급 벽돌의 일반화 된 합계로 분해 될 수있는 속성으로 직교 기반을 구축하는 데 사용될 수 있습니다. 이것은 푸리에 시리즈 영토로 곧장 이어질 것입니다. 그러나 그것은 또 다른 이야기입니다).

Math SE의이 질문에 대한 첫 번째 답변에서 간결한 설명이 제공됩니다. 왜 우리는 다른 주기적 함수가 아닌 푸리에 변환에서 삼각 함수를 사용합니까?

푸리에 기본 함수 $e^{iωx}$$S_h$$f(x)$$f(x−h)$$e^{iω(x−h)}=e^{−iωh} e^{iωx}$$x∈R$

이는 수동 소자를 R, L, C 및 적절하게 구동되는 결정으로 제한하는 경우에만 해당되며, 그럼에도 불구하고 두 가지 예외가 있습니다 (아래 참조). 의도적이거나 의도하지 않은 다이오드, 바리스터, 열 질량을 갖는 서미스터 및 기타 비선형 요소는 순수한 정현파 입력에 왜곡을 빠르게 유발할 수 있습니다. 오버 드라이브 된 크리스털 또는 세라믹 필터도 다소 비선형으로 작동 할 수 있습니다. 패시브 카테고리에 네거티브 저항 (가스 방전관, 터널 다이오드)이있는 2 단자 소자를 포함하면 훨씬 더 많은 가능성이 존재합니다.

예외 :

실제 부품은 일부 비선형 요소처럼 작동하게하는 결함이있는 경향이 있습니다. 저항은 "열 질량을 갖는 서미스터"및 "바리스터"동작을 가질 수 있습니다. 커패시터는 압전 효과, 기계적 힘을 생성하는 전기장, 화학적 영향 (전해에서)으로 인해 값에 전압 의존성을 가질 수 있습니다. 또한 커패시터에 대해 일부 일렉 트릿과 같은 효과가 문서화되어있는 것 같습니다. 금속 대 금속 조인트는 다이오드와 같은 동작을 개발할 수 있습니다. 인덕터는 코어 포화, 근처의 금속 물체와 자기장의 상호 작용 등을 통해 비선형이 될 수 있습니다.

전류를 전달하는 모든 저항성 구성 요소는 약간의 소음 발생 동작을 나타내며, 그 하한은 하드 물리학에 의해 정의됩니다.

모든 실제처럼 보이지 않는 비 정현파, 반복 신호는 다양한 주파수와 위상의 사인파의 합으로 완벽하게 설명 될 수 있습니다.

수학 괴짜에 따르면 사인파는 원과 타원을 만들고 둥근 물건을 만드는 주요 성분입니다. 컴퓨터에 원을 그리려면 일반적으로 사인을 사용합니다. / cosine 함수를 사용하거나 피타고라스의 정리를 직접 사용하십시오 ...). 자연은 많은 둥근 물건 (머리, 식물 줄기, 체리, 체리 얼룩, 토네이도 등)을 만들고 그 목적을 위해 사인파를 충분히 공급합니다.

'회로'는 일반적으로 '입력'과 '출력'포트가있는 구성 요소 네트워크로 간주됩니다. Ohms Law와 같은 네트워크 이론을 사용하면 입력 측면에서 출력을 설명하는 방정식 인 '전달 함수'를 도출 할 수 있습니다. '선형'구성 요소를 사용하면 항상 '선형'전달 함수를 찾을 수 있습니다.

이 같은 기능의 일부 선형 요소를 설명하자 output = F(input), output2 = G(input2)등과 같은이어서 결합 기능 등의 부품 리드의 조합 output2 = G(F(input1)). 두 함수가 모두 선형이기 때문에 형식 y = a * x + b은 그 조합도 선형입니다.

정현파 입력 신호를 선형 네트워크에 적용 할 때, 출력은 인자 a에 의해 증폭되고 전압 b에 의해 시프트 될 수 있습니다. 복잡한 수학 또는 미분 방정식을 사용하면 사인의 미분이 동일한 주파수를 가지기 때문에 '위상 이동'을 얻을 수 있지만 다른 주파수는 얻을 수 없습니다.

이보다 더 공식적인 것을 원하십니까?

전제가 거짓이거나 경계 조건을 올바르게 설명하지 않았습니다.

다이오드와 같은 간단한 수동 장치를 고려하십시오. 비선형 전달 특성을 나타내므로 주어진 비 정현파 출력이 나타납니다.

또한 전달 기능이있는 이상적인 공진 (LC) 회로를 고려하여 출력이 0이되어 비 정현파가됩니다.

선형 시간 불변 시스템 (및 수동 네트워크는 일반적으로 그러한 종류)의 고유 함수는 복잡한 지수이며, 실제 중첩은 임의 위상의 정현파입니다.

고유 함수는 시스템을 통과 할 때 일정한 (이 경우에는 복잡한) 계수만큼만 변경되는 함수입니다. 선형 시스템은 여러 입력의 합에 해당하는 출력이 개별 입력의 출력 합에 해당하는 시스템이므로 입력을 편리한 합으로 표현하여 항상 분석 할 수 있습니다. 이 합이 직교 고유 함수로 표현 된 합일 수 있다면 상황이 훨씬 쉬워집니다.

푸리에 분석.