조건부 안정성

연산 증폭기 및 피드백과 피드백이 안정성에 미치는 영향에 대해 배우고 있습니다. I가 건너 왔을 때 나는 이득 및 위상 마진과 그 용도에 대해 읽어 봤는데 이 :

나는 약 2 kHz에서 피드백이 긍정적이라는 것을 감안할 때 그림에 표시된 시스템이 어떻게 안정적 일지 잘 모르겠습니다. 나는 이것이 2kHz 주파수가 더 커지고 수렴하지 않을 것이라고 생각했을 것입니다.

이 시스템이 왜 안정적인가요?

이것이 바로 사람들이 Nyquist 플롯을 사용하여 안정성을 연구해야하고, 그런 다음 보드 플롯을 사용하여 관련 이득 및 위상 마진 다이어그램을 사용해야하는 이유입니다.

게인 / 위상 마진은 시스템이 복잡한 평면의 오른쪽에 극점을 얼마나 가깝게 위치시키는지를 결정하는 편리한 방법입니다. 양극은 양의 계수로 시간의 지수로 끝나므로 무한대로되므로 불안정합니다.

그러나 그들은 나이키 스트 음모가 '정상적으로 보이는'경우에만 작동합니다. 다음과 같은 작업을 수행하는 것이 좋습니다.

따라서 위상 마진 규칙을 위반하지만 개방 루프 전송 함수 G (s) H (s)는 -1을 둘러싸 지 않으므로 1 + G (s) H (s)는 오른쪽에 0이 없습니다. 이것은 폐쇄 루프의 오른쪽에 극이 없기 때문에 여전히 안정적입니다.

조건부라는 단어는 게인이이 방법으로 유지하기 위해 상한 / 하한을 가지고 있다는 사실에서 비롯되며,이를 교차하면 시스템이 불안정 해집니다 (-1이 둘러싸는 횟수를 변경하기에 충분한 곡선을 이동하기 때문에).

개방형 루프 응답의 조건부 안정성.

첫째, 이것이 Ridley의 것이기 때문에 이것이 전력 변환기의 개방 루프 응답이라고 확신 할 수 있습니다. 이 응답은 작은 선형 루프 장애에 대해 표시된 이득에 대해 안정적입니다. 루프 외란이 증폭기를 비선형 동작으로 구동하기에 충분히 커지면 비선형 영역 동작이 더 낮은 증폭기 이득을 가지기 때문에 루프가 진동 할 가능성이있다.

이와 같은 루프의 문제점은 안정적이지만 입력 전압이나 부하 또는 온도 또는 이들 모두의 조합에 따라 시스템이 크게 변하는 게인이 일반적이라는 것입니다. 조건부로 안정적인 루프를 사용하는 경우 작동 모드 (시동 조건 포함) 동안 이러한 종속성이 영향을 미치지 않는지 확인해야합니다. 이러한 종류의 루프가 발진하기 시작하면 달라 붙는 경향이 있습니다 (발진으로 인해 이득이 감소합니다).

그림과 같이 루프는 2 개의 극을 덮기 위해 2 개의 0으로 적절히 보정됩니다. 문제는 폴이 아마도 루프의 LC 필터 (복잡한 폴)에서 온 것입니다. 저손실 인덕터와 저손실 커패시터 뱅크가 결합되어 높은 Q 응답을 제공합니다. Q가 높기 때문에 LC의 모든 위상 기여는 매우 작은 주파수 범위에서 발생합니다. 그래프에서 그것은 180도 위상 손실에 대한 약 한 옥타브처럼 보입니다. Opamp 보상 0은 간단 할 것이므로 위상 부스트는 최소 20 년의 주파수 범위에서 발생합니다. 따라서 LC 위상 손실을 포괄 할 수있는 적절한 위상 부스트가 있더라도 극 근처의 중간에 위상이 떨어지고 음의 위상 마진이 발생합니다.

이 유형의 루프 응답에 대한 가능한 해결책 :

• 보상 영점을 분할하여 극점 앞에 위치하여 위상차를 조기에 추가 할 수 있습니다. 이는 위상 딥에서 더 많은 위상 마진을 초래할 수 있지만 충분하지 않을 수 있습니다.

• 최선의 조치는 일반적으로 LC 필터의 Q를 줄이는 것입니다.

루프 해체 :

이러한 유형의 개방형 루프 응답이 어떻게 발생하는지 보여주기 위해 간단한 마인드 모델을 사용하여 루프를 해체 할 수 있습니다.

나는 OP가 게시 한 응답을 만든 회로를 실제로 알지 못하지만 응답이 연속 컨덕턴스 모드 부스트 레귤레이터에서 나온 것처럼 보이는 방식에 따라 의심됩니다. 기본 모델에는 LC 필터, PowerModulator 및 오류 증폭기가 포함됩니다. AC 개방 루프 버전의 반 개략도는 다음과 같습니다.

회로는 일반적으로 CCM 부스트 루프의 동작을 반영하지만 여기의 세부 사항은 합리적으로 선택되고 게시 된 루프와 가장 편리하게 일치합니다 ... 최소 작업량. 이것은 루프의 모든 부분을 분리하고 전체 루프를 형성하기 위해 함께 어떻게 진행되는지 보여주는 도구입니다.

이 모델의 결과 인 완전한 루프로 시작하겠습니다 :

너무 나쁘지 않습니다 ... 원래와 매우 비슷하게 보입니다. 루프의 기본 특성은 1000Hz에서 LC 공진 장애를 갖는 적분기입니다. LC 극점 이하의 주파수에서 루프 게인은 10 년마다 -20dB로 롤오프되고 LC 극점 이상인 주파수에서는 10 년마다 -20dB 감소를 재개합니다. 따라서 전체적으로 1 극 (-20dB /) 롤오프가 있기 때문에 2 개의 LC 극을 0으로 덮어서 관리했습니다. ~ 20kHz 이상으로 나타나는 추가 아티팩트가 있습니다. LC 필터의 ESR 영점, 오른쪽 절반 평면 영점 (rhpz) 및 나이 퀴 스트 주파수; 간단히 언급하겠습니다.

LC 필터 반응 :

여기에서 1kHz에서 LC 극과 의 영향을 볼 수 있습니다$C_o$ 있으며 약 65kHz에서 0입니다. LC 극의 위상 거동이 얼마나 압축되었는지, 거의 모든 변화가 몇 옥타브에서 일어난다는 점에 주목하십시오.

LC 필터가있는 전력 변조기 :

전력 변조기가 여기에 LC 필터에 추가되었습니다. 전력 변조기는 30dB의 게인, 70kHz에서 오른쪽 절반 평면 영점, 100kHz에서 나이키 스트 주파수의 극점을 가지고 있습니다. ). 30dB의 이득을 갖는 것을 제외하고 이득 도표는 LC와 동일하게 보입니다. 그러나 그 단계는 어떻습니까? lhp 극과 같은 위상을 나타내지 만 lhp zero와 같은 위상을 나타내는 것은 rhpz입니다. 이것이 대부분 LC 루프 이후에 생각할 수있는만큼 개방 루프 위상이 회복되지 않는 이유입니다.

오류 증폭기 :

여기에서는 저주파 적분기 폴을 사용한 앰프 응답과 약 1kHz 및 7kHz에서 2 개의 제로, 앰프의 게인 대역폭 한계에 도달하기 전에 마지막 제로를 평탄화하기위한 42kHz의 폴을 확인할 수 있습니다.

opamp는 20MHz의 대역폭을 가지고 있으며 140dB의 이득과 2Hz의 저주파 극을 가지고 있습니다. 적분기 이득은 R1 및 C1에 의해 설정됩니다. 첫 번째 0은 C1 및 R3에 의해 설정됩니다. 두 번째 영점은 C2와 R1에 의해 설정됩니다. 레벨링 폴은 C2 및 R2에 의해 설정됩니다.

먼저 약간의 설명이 필요합니다. 다음 다이어그램에서 G (s) H (s)에 해당하는 루프 게인 L (s)이 플로팅됩니다.

이 경우의 완전한 전송 기능 ( 폐쇄 루프 이득 이라고도 함 )은 다음과 같습니다.

역변환은 함수가 s 평면의 오른쪽 (RHS)에 극점이있을 때마다 지수가 증가합니다 (불안정한 시스템임을 의미 함). 이는 1 + L (s)의 s 평면의 RHS에 0이 있는지 확인하는 것과 같습니다. 따라서 기본적으로 불안정성은 루프 게인에 의해 결정되므로 더 복잡한 폐 루프 게인을 계산할 필요가 없습니다. 따라서 안정성에 관해 이야기 할 때, 플롯은 거의 항상 루프 게인 L (s)입니다.

질문으로 돌아 가기 :

역상 (-180)에서 게인이 0dB보다 클 때 시스템이 안정적이지 않다는 주장에 대해서는 반례를 쉽게 볼 수 있습니다. 매우 간단한 것을 고려하십시오.

^{이 회로 시뮬레이션 – CircuitLab을 사용하여 작성된 회로도}

지나치게 가정하는 기준에 따르면 :

루프 게인이 -180 °에서 양수이면 시스템이 불안정합니다.

그렇다면 | K | > 1이면 불안정해야합니다.

그러나 그렇지 않습니다. 출력은 다음과 같습니다.

안정된.

반면에 K = -1이면 문제가 있습니다 (불안정 함).

위의 내용은 상수의 예이지만 일반적으로 게인이 -180에서> 0dB임을 아는 것은 시스템이 불안정하다는 것을 의미하지는 않습니다 . 당신의 책이 그렇게 말한다면, 그것은 잘못입니다 (그러나 많은 전형적인 경우에 옳은 것처럼 보일 것입니다).

위의 시스템이 약간의 지연을 가지고 있고 신호 E가 응답 할 시간이 없었고 잘못된 값을 가졌다는 것을 상상하기 시작하면 루프를 통해 반복적으로 전파되는 방법을 알 수 있습니다. 경계. 그리고 이것으로 당신은 빠져 나오기 어려운 정신적 함정에 빠질 것입니다. 이것은 귀하의 질문에있는 시스템이 안정적 일 수 있다는 개념을 받아 들일 수없는 근본적인 오해라고 생각합니다.

보드 플롯은 Nyquist의 한 조각 일 뿐이며, Nyquist 플롯이 일반적 일 때 보드 안정성 기준 만 적용 할 수 있지만 Bode는 편의성입니다 (Nyquist보다 플롯하기가 더 쉽습니다).

나이키 스트 플롯과 Bode 플롯의 단순화 된 버전은 주로 다음과 같은 그래픽 방법입니다.

1. 시스템에 RHS 폴이 있는지 확인하면 기하 급수적으로 증가합니다.
2. 시스템이 안정 / 불안정한 거리와 시스템에 대해 수행 할 수있는 작업에 대한 통찰력을 얻습니다.

또한 명확히하기 위해 불안정한 주파수를 최소화하는 늪이 없습니다. 간단한 설명 중 하나는 전체 응답이 모든 주파수의 응답에 중첩된다는 점을 고려하는 것입니다. 따라서 특정 주파수의 정현파를 임의의 수로 취소 할 수없는 것과 같은 방식으로 고정 방법이 없습니다 다른 주파수의 정현파.

그러나 다시, 시스템을 불안정하게 만드는 주파수의 관점에서 생각하는 것도 잘못되었습니다. 이 불안정성은 감쇠되지 않은 2 차 시스템에서와 같이 무한 공진 주파수를 갖는 것과는 다릅니다. 그것은 진동 시스템이지만 우리가 이야기하는 불안정성은 어떤 입력 (0을 제외하고)의 경계없이 성장하는 것입니다.

이를 증명하는 간단한 방법은 불안정한 시스템이 s- 평면의 RHS에 극점이 있음을 인식하고 있다는 것입니다.

따라서 전달 함수에서 극을 곱하는 극을 취소 할 수있는 방법이 없습니다. 출력은 여전히 ​​바운드없이 증가합니다.

게인의 제로 크로싱에서 위상이 나쁜 경우에만 진동 응답이 작동합니다. 이 루프는 조건이 안정적이므로 어떤 요인이 게인을 줄이면 (이전의 교차로 인해) 위상이 위험한 2kHz 영역에서 교차 할 수 있고 진동 응답을 생성 할 수 있습니다.

이 루프를 무조건 안정적으로 만들려면 2kHz 섹션을 위험 영역 밖으로 이동시키기위한 위상 부스트가 있거나, 위상이 충돌하기 전의 영역에서 게인이 훨씬 낮은 주파수에서 교차해야합니다.