유로 코드의 브리지 고유 주파수 추정치 도출

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Eurocodes는 "굽힘 만하는 간단한지지 교량"*을 추정하기위한 다음 방정식을 제공합니다.

n_{0} = \frac{17.75}{\sqrt{δ_{0}}}

$n_0 = \frac{17.75}{\sqrt{\delta_0}}$

어디

$n_0$ 은 고유 주파수 (Hz)입니다.
$\delta_0$ 은 mm 단위의 영구적 인 동작에서 중간 스팬에서의 처짐 입니다.

방정식은 얇은 공기에서 뜯어 낸 것처럼 보이며 상수 17.75의 출처에 대해서는 설명이 없습니다. 엔지니어로서 나는 이해하지 못하는 공식을 사용하는 것을 싫어하지만 그보다 더 많은 기본 사항을 배우면 다른 지원 조건으로 작업하도록 변경 될 수 있는지 확인할 수 있습니다.

누구든지이 관계에서 파생 / 기본적 근원을 제공 할 수 있습니까?

* 전체 참조 : EN 1991-2 : 2003 6.4.4 [주석 8] (식 6.3).

bridges dynamics eurocodes

— 토마스 마이클 월레스
소스

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이것이 올바른 PDF입니까?

— HDE 226868

예. 유로 코드를 무료로받을 수 있다는 것을 몰랐습니다!

— thomasmichaelwallace

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단면 크기가 일정하고 내부 댐핑이없고 작은 수직 편향에만 적용되는 전체 브리지를 2D 얇은 빔으로 단순화하면 고유 한 주파수는 간단한 고조파 운동에 의해 결정됩니다.

엔_{0} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{케이}{미디엄}}

$n_0 = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k } { m } }$

여기서 자연 주파수이고, 복원력과 변위 (등가 '스프링 강성') 사이의 비율 빔의 질량 단위당 길이이다. $n_0$ $k$ $m$

보에서 수 복력은 편향된 모양으로 인한 내부 전단력입니다. 보에 의해 나타나는 힘은 전단 변화율에 비례하므로 강성 ( ) 및 모멘트의 변화율과 관련 이 있습니다 (참고 : 처짐은 빔의 길이에 비례합니다) ) 이 : $EI$

케이 = α \frac{이자형 나는}{엘^{4}}

$k = \alpha \frac{ EI } { L^4 }$

여기서 상기 빔 재의 영률이며, 상기 빔 부의 관성의 두 번째 모멘트, 상기 빔의 길이이며, 상기 응답의 지원 조건 및 모드의 수에 의해 결정되는 상수이다. $E$ $I$ $L$ $\alpha$

내가 본 모든 문헌은 주파수 방정식에 더 편리한 방식으로 이것을 표현합니다.

케이 = {(\frac{케이}{엘^{2}})}^{2} (이자형 나는)

$k = \left( \frac{ K }{L^2} \right)^2 (EI)$

다시 대체

엔_{0} = \frac{케이}{2 π 엘^{2}} \sqrt{\frac{이자형 나는}{미디엄}}

$n_0 = \frac{ K }{ 2 \pi L^2 } \sqrt{ \frac{ EI } {m} }$

의 값을 계산하는 것은 매우 복잡하며 간단한 솔루션과 자유 에너지 방법 및 롤리 리츠를 포함한 대략적인 방법에 대한 정확한 접근 방식이 있습니다. 간단하게 지원되는 빔에 대한 몇 가지 편차는 여기에서 찾을 수 있습니다 . $K$

이 방정식은 충분했지만 대한 테이블 과 균질 빔으로 브리지를 나타내는 값의 계산이 필요하므로 Eurocode의 저자는 다음과 같이 결정했습니다. 가 빔을 따라 일정 하다는 가정을 더 잘 통합하십시오 . $K$ $EI$ $k$

이를 위해 그들은 다음 관계를 사용했습니다.

δ_{0} = 씨 \frac{승 엘^{4}}{이자형 나는}

$\delta_0 = C \frac { w L^4 } { EI }$

여기서 최대 변형이고, 지지 조건에 의해 결정 상수이고, 균일 빔의 길이에 걸쳐 부하를 분배 상수이다. $\delta_0$ $C$ $w$

자체 중량 에서, 는 중력으로 인한 가속도입니다 (9810 mm / s ² ;이 방정식의 편향은 mm으로 표시됨). $w = gm$ $g$

따라서 (재 배열 :)

\sqrt{\frac{이자형 나는}{미디엄}} = 엘^{2} \sqrt{9810} \frac{\sqrt{씨}}{\sqrt{δ_{0}}}

$\sqrt { \frac { EI } { m } } = L^2 \sqrt { 9810 } \frac { \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$

그래서 :

엔_{0} = \frac{15.764 케이 \sqrt{씨}}{\sqrt{δ_{0}}}

$n_0 = \frac { 15.764 K \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$

와 대한 일반 값은 각각 구조 표에서 찾을 수 있습니다 (예 : 여기 및 여기 ). $K$ $C$

간단하게 지원되는 빔의 경우 :

케이 = π^{2} 과 씨 = \frac{5}{384}

$K = \pi ^ 2 \text{ and } C = \frac { 5 } { 384 }$

15.764 케이 \sqrt{씨} = 17.75

$15.764 K \sqrt { C } = 17.75$

엔_{0} = \frac{17.75}{\sqrt{δ}}

$n_0 = \frac{ 17.75 } { \sqrt { \delta } }$

— 토마스 마이클 월레스
소스

우리는 거기에 갈. :-)

— HDE 226868

3

가능한 대답은 다음과 같습니다.

관련 파생 정보가 포함 된 이 문서 (정확한 출처를 모름)를 찾았습니다 .

엔_{0} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{케이}{미디엄}}

$n_0=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$

k

$k$

m

$m$

케이 = \frac{하중}{처짐} = \frac{에프}{δ}

$k=\frac{\text{load}}{\text{deflection}}=\frac{F}{\delta}$

F

$F$

δ

$\delta$

엔_{0} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{에프}{미디엄 δ}} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{미디엄 ㅏ}{미디엄 δ}} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{ㅏ}{δ}}

$n_0=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{F}{m\delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{ma}{m \delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{a}{\delta}}$

엔_{0} = 5.03 \sqrt{\frac{ㅏ}{δ}}

$n_0=5.03 \sqrt{\frac{a}{\delta}}$

a = 12.4382

$a=12.4382$

— HDE 226868
소스

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Ladislav Fryba의 저서 "Dynamics of Railway Bridges"(1996)에 이에 대한 자세한 정보가 있습니다. 4 장을 읽으면 92 페이지의 공식 4.53을 볼 수 있습니다.

{에프}_{1} = 17.753 V_{에스 티}^{- 1 / 2}

$f_1 = 17.753 v_{st}^{-1/2}$

$f_1$ $v_{st}$

이 방정식은 균일하게 분포 된 하중 μg에 의해 하중을받는 단순지지 빔의 미드 스팬 편향에 대한 공식을 따릅니다.

V_{에스 티} = \frac{5}{384} \frac{μ 지 엘^{4}}{이자형 나는}

$v_{st} = {5 \above 1pt 384} {\mu gl^4 \above 1pt EI}$

이것은에 대체

{에프}_{제이} = \frac{λ_{제이}^{4}}{엘^{4}} (\frac{이자형 나는}{μ})^{1 / 2}

$f_j = {\lambda_j^4 \above 1pt l^4} ({EI \above 1pt \mu})^{1/2}$

산출합니다

λ_{1} = π

$\lambda_1 = \pi$

g = 9.81 m / s ^ 2를 사용하여 해당 방정식을 서로 대입하면 다음과 같습니다.

{에프}_{1} = \frac{π}{2} (\frac{5}{384} 지)^{1 / 2} V_{에스 티}^{- 1 / 2}

$f_1 = {\pi \above 1pt 2} ({5 \above 1pt 384} g)^{1/2} v_{st}^{-1/2}$

이 방정식의 수치 평가는 원하는 방정식을 산출합니다.

— 벤자민
소스

이 책은 방정식의 기원을 설명합니까? 이것이 OP의 질문입니다. 그렇다면,이 기원에 대해 설명해 주시겠습니까?

— 와사비

나는 책에 주어진 설명을 추가했다. 더 자세하게 설명해야합니까 아니면 더 간단해야합니까?

— BenjaminKomen

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일반적으로 정적에 관심이있는 나와 같은 엔지니어의 역학은 오류를 쉽게 만들고 오해를 일으킬 수 있습니다. 이 공식은 간단하게지지되는 빔에 매우 유용합니다. 적용되는 자체 중량 하중 및 합병증을 일으키지 않고 일정 비율의 라이브 하중 (일반적으로 10 %)과 신속하게 관련 될 수 있기 때문입니다.

또한 캔틸레버는 비슷한 상수를 사용할 수 있습니다 (1dl의 경우 19.8, 종점 하중의 경우 15.8). 연속 빔과 프레임으로 모두 분해됩니다.

추적하기 위해 모든 빔 디자인으로 자연 주파수 검사를합니다. 예를 들어 목재 구조물의 경우 8Hz가 목표이며 콘크리트 바닥 / 강철 프레임 4-6Hz는 첫 번째 패스입니다.

동적 반응을 평가하기위한 거칠고 준비된 방법도 있습니다. 나는 역학이 여전히 나를 피하고 혼란스럽고 항상 의지한다고 말해야합니다! 그래서 나는 가능한 한 단순하게 유지합니다.

— 휴 모리슨
소스

이것은 실제로 OP의 핵심 질문을 다루지 않습니다. 공식은 어떻게 파생되며 기본 기원은 무엇입니까?

— grfrazee