(간체 화 된) 로딩 브릿지의 미분 방정식

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단순화 된 로딩 브릿지의 미분 방정식을 계산하는 데 문제가 있습니다.

아래 그림과 같이 시스템이 구축됩니다 (스케치 만).

Newton 접근법을 사용하면 마찰, 공기 저항 및 로프 길이의 변화를 무시하여 다음 방정식을 얻습니다.

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{z}}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos (φ)

$m_k \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{z}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos(\varphi)$

그리퍼 (무게 원)에서 운동 학적 관계를 보면 다음 방정식이 나타납니다. $m_G$

x_{G} = x_{k} + l \sin (φ) z_{G} = l \cos (φ) φ = ω t = \dot{φ} t

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ z_{G} = l \cos(\varphi)\\ \varphi = \omega t = \dot{\varphi} t$

나는 무게 와 와 길이 알고 있지만 값은 지금 중요하지 않습니다. $m_k$ $m_G$ $l$

목표는 끝에 두 개의 미분 방정식을 갖는 것입니다. 하나의 방정식은 구동력 와 트롤리의 경로 사이의 관계를 도출해야한다 (파생). 다른 방정식은 구동력 와 로프 각도 의 관계를 보여야한다 . $F_A$ $x_k$ $F_A$ $\varphi_G$

그 후 전송 기능 (Laplace 변환 등)을 만들고 싶지만 문제는 아닙니다.

문제는 그 방정식을 찾지 못하는 것입니다. 지금까지의 최선의 접근 방식은 다음과 같습니다.

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ)

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi)$

그래서 그것은

m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) F_{S} \sin (φ) = - m_{G} {\ddot{x}}_{G}

$m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ F_{S} \sin(\varphi) = -m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

나는 말할 수있다 :

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} - m_{G} {\ddot{x}}_{G}

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} - m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

$x_{G}$

x_{G} = x_{k} + l \sin (φ) {\dot{x}}_{G} = {\dot{x}}_{k} + l \dot{φ} \cos (φ) {\ddot{x}}_{G} = {\ddot{x}}_{k} + l [\ddot{φ} \cos (φ) - {\dot{φ}}^{2} \sin (φ)]

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ \dot{x}_{G} = \dot{x}_{k} + l \dot{\varphi} \cos(\varphi) \\ \ddot{x}_{G} = \ddot{x}_{k} + l \left[ \ddot{\varphi} \cos(\varphi) - \dot{\varphi}^{2} \sin(\varphi) \right]$

$\varphi$

이 시점에서 내가 어떻게 계속해야하는지에 대한 아이디어가 있습니까? 완전한 솔루션이 필요하지 않기를 바랍니다. 나는 실제로이 일에 더 관심이 있고 올바른 방향으로 나아가기를 희망합니다.

— tlp
소스

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내 생각에 당신은 아마도 다음과 같은 관성을 수반하는 각도 운동에 대한 또 다른 미분 방정식이 필요할 것입니다.

m_{G} l^{2} \ddot{φ} = m_{G} g l \sin (φ)

$m_G l^2 \ddot{\varphi} = m_G g l \sin(\varphi)$

결과는 다음과 같습니다.

\ddot{φ} = \frac{g}{l} \sin (φ)

$\ddot{\varphi} = \frac{g}{l} \sin(\varphi)$

그런 다음 작은 각도 근사치를 사용할 수 있습니다.

\sin (φ) ≃ φ

$\sin(\varphi) \simeq \varphi$

역 진자 예제를 확인하십시오 .

— am304
소스

특히 거꾸로 된 진자는 매우 도움이됩니다 ... 그것에 대해 감사합니다-나는 그것에 대해 생각하지 않았다

— tlp

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운동학 및 역학

이것들은 이러한 성질의 문제를 해결하는 단계입니다.

시스템의 운동학을 분석하십시오.

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ $_{o}\vec{r}_{OR}$ $_{o}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ $_{o}\vec{r}_{OR}$ $R(\varphi) _{B}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ $\big(x_{k}î + 0j + 0k \big)$ $\big(\sin(\varphi)l î + 0j + \cos(\varphi)lk\big)$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = $\big[\big(x_{k}+\sin(\varphi)l\big)î + 0j + \big(\cos(\varphi)l\big)k\big]$

참고 : 는 회전 행렬 이며 입니다. $R(\varphi)$ $x_{G} = x_{k}+\sin(\varphi)l$

시간 파생 상품을 복용 :

$\hspace{5.em}$ $\dot{x_{G}}$ = $\dot{x_{k}}+\cos(\varphi)\dot{\varphi}l$

$\hspace{5.em}$ $\ddot{x_{G}}$ = $\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}$

뉴턴 방정식을 사용하십시오.

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\ddot{x_{G}}$

대체 : $x_{G}$

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\big(\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)$

$\hspace{5.em}$ $\big(m_{k}+m_{G}\big)\ddot{x_{k}} + m_{G}\big(l\cos(\varphi)\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)= F_{A}$

z 축의 경우 :

$\hspace{5.em}$ $F_{Z}$ = $m_{G}g-l\big(\cos(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)\ddot{\varphi}\big)$

회전에 뉴턴의 두 번째 법칙을 사용하십시오.

$\hspace{5.em}$ $I\ddot{\varphi}$ = $F_{Z}l\sin(\varphi)-\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi)$

$F_{Z}l\sin(\varphi) = m_{G}gl\sin(\varphi)-l^{2}\big(\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big)$

$\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi) = m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)+m_{G}\ddot{x_{K}}l\cos(\varphi)$

삼각법 아이덴티티 사용하기 :

$\hspace{5.em}$ $\big(I+m_{G}l^{2}\big)\ddot{\varphi}$ = $m_{G}gl\sin(\varphi)-m_{k}l\cos(\varphi)\ddot{x_{k}}$

끝난! 이제 쉴 수 있습니다 ... $\ddot\smile$

— leCrazyEngineer
소스