수치 법을 이용한 슬라이딩 모드 표면 미분

항공기 스핀 회수를위한 분기 맵을 사용한 제어기 설계 기사 에서 슬라이딩 표면 미분은 수치 방법을 사용하여 얻습니다.

정상 공간 시스템은 다음 방정식으로 정의됩니다.

$$\dot{\underline{x}}=A(\underline{x},t)+B(\underline{x},t)\underline{U}, \\ \underline{x}=[V,\alpha,\beta,p,q,r,\phi,\theta], \\ s=\left[\begin{array}{c} \dfrac{d}{dt}(\phi-\phi_d)+\lambda_1(\phi-\phi_d) \\ \dfrac{d}{dt}(\alpha-\alpha_d)+\lambda_2(\alpha-\alpha_d) \\ \dfrac{d}{dt}(\beta-\beta_d)+\lambda_3(\beta-\beta_d) \\ \end{array}\right]$$

여기서 , λ 2 및 λ 3 은 양의 실수입니다.$\lambda_1$$\lambda_2$$\lambda_3$

기사는 다음과 같이 말합니다.

제어법은 Eq. (6)은 다음과 같이 도출 될 수있다 :

$$\dot{s}=\dfrac{\partial{s}}{\partial{x}}\dot{x}=\dfrac{\partial{s}}{\partial{x}}(A+Bu)=-Qsgn(s)+Kf(s).\tag{8}$$

u (3 x 1)에 대한 위의 방정식 (8)을 풀면 다음과 같이 u에 대한 표현식을 얻습니다.

$$u=-\left(\dfrac{\partial{s}}{\partial{x}}B\right)^{-1}\left[\dfrac{\partial{s}}{\partial{x}}A+Qsgn(S)+Kf(s)\right].\tag{9}$$

$\frac{\partial{s}}{\partial{x}}$

$\dfrac{\partial s}{\partial x}$$u$$\dfrac{\partial s}{\partial x}$$\dfrac{\partial s}{\partial x}$

정확히 어떤 방법을 사용할 것인지 정확하게 말하기는 어렵지만, 특별한 방법이라면 방법을 지정한다고 가정하는 것이 합리적입니다.

이 작업을 수행하는 가장 쉬운 방법은 유한 차이 체계를 사용하는 것 입니다. 여기에서는 상태 공간에서 작지만 알려진 거리 인 두 위치에서 함수를 계산하여 함수의 미분을 근사화합니다. 미분 (기울기)은 '상승'(함수의 두 값의 차이)을 '실행'(상태 공간의 거리)으로 나눈 값입니다.

$s$$x$$s$$x$

$$\frac{\partial s}{\partial \alpha} \approx \frac{s(V,\alpha +\Delta\alpha,\beta,p,q,r,\phi,\theta) - s(V,\alpha -\Delta\alpha,\beta,p,q,r,\phi,\theta)}{2\Delta\alpha}$$

$\Delta\alpha$$s$$x = (V,\alpha,\beta,p,q,r,\phi,\theta)$${\Delta\alpha}^2$