MIMO (멀티 입력-멀티 출력) 시스템 디커플링 방법

MIMO의 2 입력 2 출력 시스템 디커플링 (A)에있어서을 SISO의 시스템은 다수의 논문과 책에 기재되어있다. 방법에 대한 m * n 개의 크기 전송 기능 시스템? 예를 들어 3 * 3 또는 3 * 7 MIMO 시스템으로 방법을 어떻게 일반화 할 수 있습니까?

다음은 2 * 2 MIMO 시스템 설명입니다.

함께 양식 $\mathrm{D_{11}(s)=D_{22}(s)=1}$

$D (s) = [\begin{matrix} D_{11} (s) & D_{12} (s) \\ D_{21} (s) & > D_{22} (s) \end{matrix}]$ $\mathrm{D(s)}=\begin{bmatrix} D_{11}(s) & D_{12}(s) \\ D_{21}(s) & > D_{22}(s) \\ \end{bmatrix}$
여기서 우리는 방정식의 구조와 분리 된 응답과 분리자를 지정합니다

$G_{p} (s) D (s) = [\begin{matrix} G_{11} (s) & 0 \\ 0 & G_{22} (s) > \end{matrix}] [\begin{matrix} G_{11} (s) & G_{12} (s) \\ G_{21} (s) & > G_{22} (s) \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & D_{12} (s) \\ D_{21} (s) & 1 > \end{matrix}] >= [\begin{matrix} G_{11}^{*} (s) & 0 \\ 0 & G_{22}^{*} (s) \end{matrix}]$ $G_p(s)D(s)=\begin{bmatrix} G_{11}(s) & 0 \\0 & G_{22}(s) > \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} G_{11}(s) & G_{12}(s) \\ G_{21}(s) & > G_{22}(s) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & D_{12}(s) \\ D_{21}(s) & 1 > \end{bmatrix} > = \begin{bmatrix} G^*_{11}(s) & 0 \\ 0 & G^*_{22}(s) \end{bmatrix}$
그리고 우리는 4 개의 미지수에서 4 개의 방정식을 풀어

$D_{12} (s) = - \frac{G_{12} (s)}{G_{11} (s)} D_{21} (s) => - \frac{G_{21} (s)}{G_{22} (s)} G_{l 1} (s) = G_{11} (s) = - \frac{G_{12} (s) G_{21} (s)}{G_{22} (s)} G_{l 2} (s) = G_{22} (s) = - \frac{G_{21} (s) G_{12} (s)}{G_{11} (s)}$ $D_{12}(s) = -\frac{G_{12}(s)}{G_{11}(s)} \\ D_{21}(s) = > -\frac{G_{21}(s)}{G_{22}(s)} \\ G_{l1}(s) = G_{11}(s) = -\frac{G_{12}(s)G_{21}(s)}{G_{22}(s)} \\ G_{l2}(s) = G_{22}(s) = -\frac{G_{21}(s)G_{12}(s)}{G_{11}(s)}$

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— 라 히드
소스

네트워크 분석 및 합성 교과서 (예 : Kuo 또는 Brian DO Anderson & Sumeth Vongpanitlerd)를 검토해야합니다. 요즘 많이 배우는 주제는 아닙니다.

— 나의 다른 머리

나는 당신이 주 공간 양식을 찾고 있다고 생각합니다.

— leCrazyEngineer

수학 stackexchange에 대한이 주제는 math.stackexchange.com/questions/1297659/…에

— jos

전송 기능을 사용하여 솔루션을 제공 할 수 없습니다. 그러나 상태 공간 표현을 사용하여 일반적인 형태를 줄 수 있습니다. 나는 정사각형 시스템, 즉 입력 및 출력의 수와 동일하게 할 것입니다. 입력과 출력을 가진 시스템의 경우 문제를 해결하기가 더 어려워지고 훨씬 어려워집니다. $n$ $m$

출력 시스템

\dot{x} = f (x) + g_{1} (x) u_{1} + \dots + g_{m} (x) u_{m}

$\dot{x}=f(x)+ g_1(x)u_1 + \ldots + g_m(x)u_m$

y_{1} = h_{1} (x), \dots, y_{m} = h_{m} (x)

$y_1 = h_1(x), \ldots, y_m = h_m(x)$

먼저 Lie Derivative를 소개합니다. 유도체 거짓 에 대한 또는 함께 이고 예를 들어, 다음과 같은 표기가 사용된다 : $h$ $f$ $f$

L_{f} h (x) = \frac{\partial h}{\partial x} f (x)

$L_{f}h(x) = \frac{\partial h}{\partial x}f(x)$

\begin{aligned} L_{g} L_{f} & = \frac{\partial (L_{f} h)}{\partial x} g (x) \\ L_{f}^{2} h (x) & = L_{f} L_{f} h (x) & = \frac{\partial (L_{f} h)}{\partial x} f (x) \\ L_{f}^{k} h (x) & = L_{f} L_{f}^{k - 1} h (x) & = \frac{\partial (L_{f}^{k - 1})}{\partial x} f (x) \end{aligned}

$\begin{split} L_g L_f &= \frac{\partial (L_f h)}{\partial x}g(x)\\ L_f^2 h(x) &= L_f L_f h(x) &= \frac{\partial (L_f h)}{\partial x}f(x)\\ L_f^kh(x) &= L_f L_f^{k-1}h(x) &= \frac{\partial (L_f^{k-1})}{\partial x}f(x) \end{split}$

각 출력에 대한 상대적인 정도의 개념을 소개합니다. 고려 번째의 출력을 시간에 대하여 차별화 : 이 식은 의존 명시 적으로, 적어도 하나 개의 입력의 경우 (모든 ) : 이면 따라서 번째 출력은 상대 차수 입니다. $i$

{\dot{y}}_{i} = L_{f} h_{i} (x) + L_{g_{1}} h_{i} (x) u_{1} + \dots L_{g_{m}} h_{i} (x) u_{m}

$\dot{y}_i = L_fh_i(x) +L_{g_1}h_i(x)u_1 +\ldots L_{g_m}h_i(x)u_m$

x

$x$

(L_{g_{1}} h_{i} (x), \dots, L_{g_{m}} h_{i} (x)) \neq (0, \dots, 0)

$\left(L_{g_1}h_i(x),\ldots,L_{g_m}h_i(x) \right)\neq (0,\ldots,0)$

i

$i$

k_{i} = 1

$k_i = 1$

경우 일반적으로 출력 당 상대 차수 모든 . $k$ $i$

(L_{g}, L_{f}^{k_{i} - 1} h_{i} (x), \dots, L_{g_{m}} L_{f}^{k_{i} - 1} h_{i} (x)) \neq (0, \dots, 0)

$\left(L_g,L_f^{k_i-1}h_i(x),\ldots,L_{g_m}L_f^{k_i-1}h_i(x)\right) \neq (0,\ldots,0)$

x

$x$

디커플링과 함께 다음 피드백 를 적용 할 때 시스템은 이제 입력 선형화 (따라서 분리)됩니다. 행렬 , 벡터 과 새로운 입력 벡터 . 여기서 .

u (x) = - A^{- 1} (x) N (x) + A^{- 1} (x) v

$u(x) = -A^{-1}(x)N(x)+A^{-1}(x)v$

A (x)

$A(x)$

N (x)

$N(x)$

v

$v$

A (x) = (\begin{matrix} L_{g_{1}} L_{f}^{k_{1} - 1} h_{1} (x) & \dots & L_{g_{m}} L_{f}^{k_{1} - 1} h_{1} \\ ⋮ & ⋮ \\ L_{g_{1}} L_{f}^{k_{m} - 1} h_{m} (x) & \dots & L_{g_{m}} L_{F}^{k_{m} - 1} h_{m} \end{matrix}), N (x) = (\begin{matrix} L_{f}^{k_{1}} h_{1} (x) \\ ⋮ \\ L_{f}^{k_{m}} h_{m} (x) \end{matrix})

$A(x) = \begin{pmatrix} L_{g_1}L_f^{k_1-1}h_1(x) & \ldots & L_{g_m}L_f^{k_1-1}h_1\\ \vdots & & \vdots\\ L_{g_1}L_f^{k_m-1}h_m(x) & \ldots & L_{g_m}L_F^{k_m-1}h_m\\ \end{pmatrix},\quad N(x) = \begin{pmatrix} L_f^{k_1}h_1(x)\\ \vdots\\ L_f^{k_m}h_m(x) \end{pmatrix}$

따라서 모든 대해 를 뒤집을 수 있어야합니다 . 전송 기능을 원하면 Laplace를 적용하십시오. $A(x)$ $x$

— 쓸모없는 기계
소스