관성 극좌표, 와 단면 의 비틀림 상수 의 은 무엇입니까?

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이 질문은 근본적으로 매우 기본적이어서 물어보기가 거의 창피하지만 다른 날에는 직장에 올라 왔으며 사무실에있는 사람은 저에게 좋은 대답을 줄 수 없었습니다. 나는 방정식을 사용하여 멤버의 전단 응력을 계산하고 원형 단면을 가진 샤프트의 경우 입니다. $\frac{Tr}{J_T}$ $J_T = I_P$

와 는 모두 비틀림에 저항하는 물체의 능력을 설명하는 데 사용됩니다. 는 로 정의됩니다. 여기서 = 가 계산 되는 축까지의 반경 거리 입니다. 그러나 에는 정확한 분석 방정식이 없으며 실제로 살펴 본 참조가없는 대략적인 방정식으로 주로 계산됩니다. $I_P$ $J_T$ $I_P$ $\int_{A} \rho^2 dA$ $\rho$ $I_P$ $J_T$

제 질문은 관성 극좌표 와 비틀림 상수 무엇입니까? 수학적으로뿐만 아니라 실제로도. 각각의 물리적 또는 기하학적 특성은 무엇입니까? 가 왜 그렇게 계산하기 어려운가요? $I_P$ $J_T$ $J_T$

— 윌리엄 S. 고드프리 -SE
소스

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비틀림 상수를 식으로 적용될 토크 비틀림 각도에 관한 것이다 : 가해진 토크 인이 부재의 길이이다, 전단에서의 탄성률은 및 비틀림 상수이다. $J_T$

ϕ = \frac{T L}{J_{T} G}

$\phi = \frac{TL}{J_T G}$

T

$T$

L

$L$

G

$G$

J_{T}

$J_T$

반면에, 극 관성 모멘트는 단면 이 변하지 않고 비틀림에 대한 저항력이 크며 휨이 적습니다 .

비틀림이있는 원형 막대의 경우 원형 대칭으로 인해 특별합니다. 즉, 휘지 않고 비틀림에 따라 단면이 변하지 않습니다. 따라서 입니다. $J_T = I_P$

멤버가 원형 대칭을 가지지 않으면 비틀림과 틀릴 것으로 예상 할 수 있습니다 . $J_T \neq I_P$

계산 방법에 문제가 있습니다. 불행히도 이것은 간단하지 않으므로 일반적인 모양의 값 (대개 대략적인 값)이 표로 표시됩니다. $J_T$

비틀림 상수를 계산하는 한 가지 방법은 Prandtl 응력 함수 를 사용하는 것입니다 (또 다른 방법은 변형 함수 사용 ).

너무 자세하게 설명하지 않고 멤버 내 응력 분포를 나타내며 경계 조건을 충족시키는 Prandtl 응력 함수 를 선택해야합니다 (일반적으로 쉽지 않음). 또한 포아송의 호환성 방정식을 만족해야합니다. 여기서 는 단위 길이 당 꼬임 각도입니다. $\Phi$

\nabla^{2} Φ = - 2 G θ

$\nabla^2 \Phi = -2 G \theta$

θ

$\theta$

경계 (트랙션 프리 경계 조건)에서 되도록 응력 함수를 선택한 경우 다음과 같이 비틀림 상수를 찾을 수 있습니다. $\Phi = 0$

J_{T} = 2 \int_{A} \frac{Φ}{G θ} d A

$J_T = 2\int_A \frac{\Phi}{G\theta} dA$

예 : 원형 단면의 막대

원형 단면의 대칭으로 인해 다음을 취할 수 있습니다. 여기서 R은 외부 반경입니다. 그러면 얻을 :

Φ = \frac{G θ}{2} (R^{2} - r^{2})

$\Phi = \frac{G\theta}{2} (R^2-r^2)$

J_{T} = 2 π \int_{0}^{R} (R^{2} - r^{2}) r d r = \frac{π R^{4}}{2} = (I_{P})_{c i r c l e}

$J_T = 2\pi\int_0^R (R^2-r^2)rdr = \frac{\pi R^4}{2} = (I_P)_{circle}$

예 : 타원형 단면의 막대

Φ = G θ \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}} (\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - 1)

$\Phi = G\theta\frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)$ 및 이것은 극의 관성 모멘트와 같지 않습니다. 타원 :

J_{T} = \int_{A} \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}} (\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - 1) d A = \frac{π a^{3} b^{3}}{a^{2} + b^{2}}

$J_T = \int_A \frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)dA = \frac{\pi a^3 b^3}{a^2+b^2}$

(I_{P})_{e l l i p s e} = \frac{1}{4} π a b (a^{2} + b^{2}) \neq (J_{T})_{e l l i p s e}

$(I_P)_{ellipse} = \frac{1}{4}\pi a b(a^2+b^2) \neq (J_T)_{ellipse}$

일반적으로 이므로 비틀림 상수 대신 극좌표 관성 모멘트를 사용하면 더 작은 비틀림 각도를 계산할 수 있습니다. $J_T < I_P$

— mg4w
소스

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이것은 거의 우연의 일치이며, 단단하거나 속이 빈 원형 단면에만 해당됩니다. 물론 비틀림을 전달하는 샤프트 는 종종 원형이므로 문제와 무관합니다.

원형 샤프트의 비틀림은 원형의 대칭으로 인해 물리적으로 간단합니다. 대칭 적으로, 어떤 지점에서의 응력과 변형은 샤프트의 중심선에서 반경 거리의 함수일 수 있습니다. 피타고라스 정리에 의해 임의의 축 쌍을 취하고 반지름을 로 표현할 수 있습니다 . $r^2 = x^2 + y^2$

이 사실을 사용하면 횡단면의 적분을 및 방향 의 두 적분의 합으로 변환 할 수 있으며 대칭에 의해 두 적분은 서로 같아야합니다. $x$ $y$

적분의 형태는 원형 빔의 두 번째 영역의 순간과 정확히 같은 수학적 형태가되므로 요청한 결과로 이어집니다.

응력 분포가 방사형으로 대칭이 아니기 때문에 비 원형 섹션에서는 작동하지 않습니다. 예를 들어 솔리드 정사각형 섹션의 비틀림 상수와 극좌표 모멘트를 비교하면 두 공식의 "상수"가 다릅니다. 횡단면이 원에서 벗어나면 차이가 커집니다.

복잡한 형상 단면 (예 : I- 빔)의 비틀림 상수는 단면에 대한 응력 분포가 복잡하기 때문에 계산하기 어렵고 수학적으로 통합 할 수있는 간단한 "수식"이 없습니다. 엔지니어링 핸드북의 비틀림에 대한 많은 공식은 "정확한"수학 솔루션이 아니라 단순화 된 가정을 기반으로합니다.

그러나 실생활에서 "오류"는 그다지 중요하지 않은데, 그 이유는 비 원형 구조에 비틀림 하중이 가해지면 단면이 "왜곡"즉 , 더 이상 평면으로 유지되지 않기 때문 입니다. 실제로는 샤프트 끝의 구속 조건이 영향을 미치기 때문에 휨량을 알 수없는 경우가 많습니다. 비 원형 구성 요소의 비틀림 강성을 정확하게 추정해야하는 경우 구성 요소 자체의 전체 3D 모델과 나머지 구조에 고정되는 방법을 만들어야합니다. 해당 수준의 세부 정보로 모델을 만드는 경우 답을 한 숫자로 줄이는 데 별다른 의미가 없으므로 "비틀림 강성"이라고 부를 수 있습니다.

— 알레프 제로
소스

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극 관성 모멘트, Ip는 비틀림에 대한 솔리드의 저항입니다. 그러나 회전 질량 관성 모멘트 J는 회전하는 솔리드의 관성 모멘트입니다. 이 웹을 참조하십시오 .

내가 이해하는 것처럼 J는 일반적인 관성 모멘트와 동일하지만 회전하는 객체에 사용됩니다.

— Galtor
소스

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와 과 혼동하지 마십시오 . 그는 극 관성 모멘트가 아니라 극지방 모멘트에 대해 물었다 .

I_{z z} = \int r^{2} d A

$I_{zz} = \int r^2 {\rm d}A$

I_{z z} = \int r^{2} d m

$I_{zz} = \int r^2 {\rm d}m$

— ja72