numpy.einsum()직관적으로 이해한다면 아이디어 를 이해하는 것은 매우 쉽습니다. 예를 들어, 행렬 곱셈 과 관련된 간단한 설명으로 시작해 봅시다 .
를 사용하려면 numpy.einsum()소위 첨자 문자열 을 인수로 전달한 다음 입력 배열 을 전달하면 됩니다 .
두 개의 2D 배열이 A있고 B행렬 곱셈을 원한다고 가정 해 봅시다 . 그래서 당신은 :
np.einsum("ij, jk -> ik", A, B)
여기서 첨자 스트링 ij 어레이에 대응 A그동안 첨자 스트링 jk 어레이에 대응한다 B. 또한 여기에서 가장 중요한 것은 각 첨자 문자열 의 문자 수가 배열의 크기와 일치 해야한다는 것 입니다. (즉, 2D 배열의 경우 2 문자, 3D 배열의 경우 3 문자 등) 그리고 아래 첨자 문자열 사이에 문자를 반복하면 ( 이 경우) 합계 가 해당 차원을 따라 발생 한다는 것을 의미 합니다. 따라서 합산됩니다. (즉, 그 차원은 사라질 것이다 ) jein
이 뒤에 있는 첨자 문자열-> 은 결과 배열입니다. 비워두면 모든 것이 합산되고 스칼라 값이 결과로 반환됩니다. 그렇지 않으면 결과 배열은 아래 첨자 문자열 에 따라 치수를 갖습니다 . 이 예에서는 ik입니다. 이것은 행렬 곱셈의 경우 배열의 열 수가 배열 A의 행 수와 일치해야 한다는 것을 알고 있기 때문에 직관적입니다 B(예 : 첨자 문자열j 에서 문자 를 반복 하여이 지식을 인코딩 합니다 )
다음은 np.einsum()일반적인 텐서 또는 nd-array 연산을 간결하게 구현 하는 데 사용 / 출력을 나타내는 몇 가지 예입니다 .
입력
# a vector
In [197]: vec
Out[197]: array([0, 1, 2, 3])
# an array
In [198]: A
Out[198]:
array([[11, 12, 13, 14],
[21, 22, 23, 24],
[31, 32, 33, 34],
[41, 42, 43, 44]])
# another array
In [199]: B
Out[199]:
array([[1, 1, 1, 1],
[2, 2, 2, 2],
[3, 3, 3, 3],
[4, 4, 4, 4]])
1) 행렬 곱셈 (와 유사 np.matmul(arr1, arr2))
In [200]: np.einsum("ij, jk -> ik", A, B)
Out[200]:
array([[130, 130, 130, 130],
[230, 230, 230, 230],
[330, 330, 330, 330],
[430, 430, 430, 430]])
2) 주 대각선을 따라 요소 추출 (과 유사 np.diag(arr))
In [202]: np.einsum("ii -> i", A)
Out[202]: array([11, 22, 33, 44])
3)하다 마드 곱 (즉, 두 배열의 요소 별 곱) (와 유사 arr1 * arr2)
In [203]: np.einsum("ij, ij -> ij", A, B)
Out[203]:
array([[ 11, 12, 13, 14],
[ 42, 44, 46, 48],
[ 93, 96, 99, 102],
[164, 168, 172, 176]])
4) 소자 현명한 제곱 (유사 np.square(arr)하거나 arr ** 2)
In [210]: np.einsum("ij, ij -> ij", B, B)
Out[210]:
array([[ 1, 1, 1, 1],
[ 4, 4, 4, 4],
[ 9, 9, 9, 9],
[16, 16, 16, 16]])
주 대각선 요소 5) 추적 (즉, 합계) (유사한 np.trace(arr))
In [217]: np.einsum("ii -> ", A)
Out[217]: 110
6) 매트릭스 전치 (와 유사 np.transpose(arr))
In [221]: np.einsum("ij -> ji", A)
Out[221]:
array([[11, 21, 31, 41],
[12, 22, 32, 42],
[13, 23, 33, 43],
[14, 24, 34, 44]])
7) 외부 벡터 ( 벡터) (와 유사 np.outer(vec1, vec2))
In [255]: np.einsum("i, j -> ij", vec, vec)
Out[255]:
array([[0, 0, 0, 0],
[0, 1, 2, 3],
[0, 2, 4, 6],
[0, 3, 6, 9]])
8) 내부 벡터 ( 벡터) (와 유사 np.inner(vec1, vec2))
In [256]: np.einsum("i, i -> ", vec, vec)
Out[256]: 14
9) 축 0을 따라 합 (와 유사 np.sum(arr, axis=0))
In [260]: np.einsum("ij -> j", B)
Out[260]: array([10, 10, 10, 10])
10) 축 1을 따라 합 (와 유사 np.sum(arr, axis=1))
In [261]: np.einsum("ij -> i", B)
Out[261]: array([ 4, 8, 12, 16])
11) 배치 행렬 곱셈
In [287]: BM = np.stack((A, B), axis=0)
In [288]: BM
Out[288]:
array([[[11, 12, 13, 14],
[21, 22, 23, 24],
[31, 32, 33, 34],
[41, 42, 43, 44]],
[[ 1, 1, 1, 1],
[ 2, 2, 2, 2],
[ 3, 3, 3, 3],
[ 4, 4, 4, 4]]])
In [289]: BM.shape
Out[289]: (2, 4, 4)
# batch matrix multiply using einsum
In [292]: BMM = np.einsum("bij, bjk -> bik", BM, BM)
In [293]: BMM
Out[293]:
array([[[1350, 1400, 1450, 1500],
[2390, 2480, 2570, 2660],
[3430, 3560, 3690, 3820],
[4470, 4640, 4810, 4980]],
[[ 10, 10, 10, 10],
[ 20, 20, 20, 20],
[ 30, 30, 30, 30],
[ 40, 40, 40, 40]]])
In [294]: BMM.shape
Out[294]: (2, 4, 4)
12) 축 2를 따라 합 (와 유사 np.sum(arr, axis=2))
In [330]: np.einsum("ijk -> ij", BM)
Out[330]:
array([[ 50, 90, 130, 170],
[ 4, 8, 12, 16]])
13) 배열의 모든 요소를 합산하십시오 (와 유사 np.sum(arr))
In [335]: np.einsum("ijk -> ", BM)
Out[335]: 480
14) 여러 축에 대한 합계 (즉, 주 변화)
(와 유사 np.sum(arr, axis=(axis0, axis1, axis2, axis3, axis4, axis6, axis7)))
# 8D array
In [354]: R = np.random.standard_normal((3,5,4,6,8,2,7,9))
# marginalize out axis 5 (i.e. "n" here)
In [363]: esum = np.einsum("ijklmnop -> n", R)
# marginalize out axis 5 (i.e. sum over rest of the axes)
In [364]: nsum = np.sum(R, axis=(0,1,2,3,4,6,7))
In [365]: np.allclose(esum, nsum)
Out[365]: True
15) Double Dot Products ( np.sum (hadamard-product) 와 유사 , 3 참조 )
In [772]: A
Out[772]:
array([[1, 2, 3],
[4, 2, 2],
[2, 3, 4]])
In [773]: B
Out[773]:
array([[1, 4, 7],
[2, 5, 8],
[3, 6, 9]])
In [774]: np.einsum("ij, ij -> ", A, B)
Out[774]: 124
16) 2D 및 3D 배열 곱셈
이러한 곱셈은 결과를 검증하려는 선형 방정식 시스템 ( Ax = b )을 풀 때 매우 유용 할 수 있습니다 .
# inputs
In [115]: A = np.random.rand(3,3)
In [116]: b = np.random.rand(3, 4, 5)
# solve for x
In [117]: x = np.linalg.solve(A, b.reshape(b.shape[0], -1)).reshape(b.shape)
# 2D and 3D array multiplication :)
In [118]: Ax = np.einsum('ij, jkl', A, x)
# indeed the same!
In [119]: np.allclose(Ax, b)
Out[119]: True
반대로이 np.matmul()검증 에 사용해야 하는 경우 reshape다음과 같은 결과를 얻기 위해 몇 가지 작업을 수행해야합니다.
# reshape 3D array `x` to 2D, perform matmul
# then reshape the resultant array to 3D
In [123]: Ax_matmul = np.matmul(A, x.reshape(x.shape[0], -1)).reshape(x.shape)
# indeed correct!
In [124]: np.allclose(Ax, Ax_matmul)
Out[124]: True
보너스 : 더 많은 수학 읽기 : Einstein-Summation 그리고 확실히 여기 : Tensor-Notation
(A * B)^T같거나 같습니다B^T * A^T.