파이썬에서 지수 및 로그 곡선 피팅을 수행하는 방법은 무엇입니까? 다항식 피팅 만 찾았습니다.

나는 일련의 데이터를 가지고 있으며 어떤 라인이 그것을 가장 잘 묘사하는지 비교하고 싶습니다 (다른 순서의 다항식, 지수 또는 로그).

나는 Python과 Numpy를 사용하고 다항식 피팅에는 함수가 polyfit()있습니다. 그러나 지수 및 로그 피팅에 대한 그러한 기능을 찾지 못했습니다.

거기 아무도 없나요? 아니면 어떻게 해결합니까?

피팅 Y가 = + B의 로그 X 바로 적합 Y (로그 대하여 X를 ).

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> numpy.polyfit(numpy.log(x), y, 1)
array([ 8.46295607,  6.61867463])
# y ≈ 8.46 log(x) + 6.62

y = Ae ^Bx 를 맞추기 위해 ^양변 의 로그를 취하면 log y = log A + Bx가 됩니다. x 에 대해 (log y )를 적합 시킵니다.

선형 인 것처럼 피팅 (log y )은 작은 y 값을 강조 하여 큰 y에 대해 큰 편차를 유발 합니다. polyfit(선형 회귀)는 ∑ _i (Δ Y ) ² = ∑ _i ( Y _i - Ŷ _i ) ² 를 최소화하여 작동 하기 때문 입니다. 경우 Y _I = 로그 Y _난 , 잔류 Δ Y _난 Δ = (로그 Y _I ) ≈ Δ Y _I / | y _나 |. 그래도polyfit큰 y 대해 매우 잘못된 결정을 작은 값 선호합니다., "divide-by- | y |" 요인이 보상하여polyfit

이것은 각 엔트리에 y에 비례하는 "weight"를 부여함으로써 완화 될 수 있습니다 . 키워드 인수 polyfit를 통해 가중치가 가장 작은 제곱을 지원합니다 w.

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1)
array([ 0.10502711, -0.40116352])
#    y ≈ exp(-0.401) * exp(0.105 * x) = 0.670 * exp(0.105 * x)
# (^ biased towards small values)
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1, w=numpy.sqrt(y))
array([ 0.06009446,  1.41648096])
#    y ≈ exp(1.42) * exp(0.0601 * x) = 4.12 * exp(0.0601 * x)
# (^ not so biased)

Excel, LibreOffice 및 대부분의 공학용 계산기는 일반적으로 지수 회귀 / 추세선에 대해 비가 중 (편향) 공식을 사용합니다. 결과가 이러한 플랫폼과 호환되도록하려면 더 나은 결과를 제공하더라도 가중치를 포함시키지 마십시오.

이제 scipy를 사용할 수 있다면 scipy.optimize.curve_fit 변환없이 모든 모델에 맞출 .

를 들어 , Y가 = + B를 로그 X 결과가 변환 방법과 동일하다 :

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t),  x,  y)
(array([ 6.61867467,  8.46295606]), 
 array([[ 28.15948002,  -7.89609542],
        [ -7.89609542,   2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)

들어 y는 = 애 ^Bx로를 이 Δ (로그 계산하기 때문에, 그러나, 우리는 더 잘 맞는을 얻을 수 있습니다 Y를 직접). 그러나 curve_fit원하는 로컬 최소값에 도달 할 수 있도록 초기화 추측을 제공해야합니다 .

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y)
(array([  5.60728326e-21,   9.99993501e-01]),
 array([[  4.14809412e-27,  -1.45078961e-08],
        [ -1.45078961e-08,   5.07411462e+10]]))
# oops, definitely wrong.
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y,  p0=(4, 0.1))
(array([ 4.88003249,  0.05531256]),
 array([[  1.01261314e+01,  -4.31940132e-02],
        [ -4.31940132e-02,   1.91188656e-04]]))
# y ≈ 4.88 exp(0.0553 x). much better.

curve_fitfrom에서 사용하는 기능에 데이터 세트를 맞출 수도 있습니다 scipy.optimize. 예를 들어 ( 문서에서 ) 지수 함수를 맞추려면 다음을 수행하십시오 .

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def func(x, a, b, c):
    return a * np.exp(-b * x) + c

x = np.linspace(0,4,50)
y = func(x, 2.5, 1.3, 0.5)
yn = y + 0.2*np.random.normal(size=len(x))

popt, pcov = curve_fit(func, x, yn)

그런 다음 음모를 꾸미려면 다음을 수행하십시오.

plt.figure()
plt.plot(x, yn, 'ko', label="Original Noised Data")
plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-', label="Fitted Curve")
plt.legend()
plt.show()

(참고 : *앞에 popt당신이에 조건을 확대 할 플롯 할 때 a, b그리고 c그 func. 기대)

나는 이것에 약간의 어려움을 겪고 있었으므로 나처럼 멍청한 사람들이 이해할 수 있도록 매우 명시 적으로 보자.

데이터 파일이나 이와 비슷한 것이 있다고 가정 해 봅시다.

# -*- coding: utf-8 -*-

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import sympy as sym

"""
Generate some data, let's imagine that you already have this. 
"""
x = np.linspace(0, 3, 50)
y = np.exp(x)

"""
Plot your data
"""
plt.plot(x, y, 'ro',label="Original Data")

"""
brutal force to avoid errors
"""    
x = np.array(x, dtype=float) #transform your data in a numpy array of floats 
y = np.array(y, dtype=float) #so the curve_fit can work

"""
create a function to fit with your data. a, b, c and d are the coefficients
that curve_fit will calculate for you. 
In this part you need to guess and/or use mathematical knowledge to find
a function that resembles your data
"""
def func(x, a, b, c, d):
    return a*x**3 + b*x**2 +c*x + d

"""
make the curve_fit
"""
popt, pcov = curve_fit(func, x, y)

"""
The result is:
popt[0] = a , popt[1] = b, popt[2] = c and popt[3] = d of the function,
so f(x) = popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3].
"""
print "a = %s , b = %s, c = %s, d = %s" % (popt[0], popt[1], popt[2], popt[3])

"""
Use sympy to generate the latex sintax of the function
"""
xs = sym.Symbol('\lambda')    
tex = sym.latex(func(xs,*popt)).replace('$', '')
plt.title(r'$f(\lambda)= %s$' %(tex),fontsize=16)

"""
Print the coefficients and plot the funcion.
"""

plt.plot(x, func(x, *popt), label="Fitted Curve") #same as line above \/
#plt.plot(x, popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3], label="Fitted Curve") 

plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

결과는 다음과 같습니다. a = 0.849195983017, b = -1.18101681765, c = 2.24061176543, d = 0.816643894816

글쎄, 항상 사용할 수 있다고 생각합니다.

np.log   -->  natural log
np.log10 -->  base 10
np.log2  -->  base 2

IanVS의 답변을 약간 수정 :

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def func(x, a, b, c):
  #return a * np.exp(-b * x) + c
  return a * np.log(b * x) + c

x = np.linspace(1,5,50)   # changed boundary conditions to avoid division by 0
y = func(x, 2.5, 1.3, 0.5)
yn = y + 0.2*np.random.normal(size=len(x))

popt, pcov = curve_fit(func, x, yn)

plt.figure()
plt.plot(x, yn, 'ko', label="Original Noised Data")
plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-', label="Fitted Curve")
plt.legend()
plt.show()

결과는 다음과 같습니다.

다음 은 scikit learn의 도구를 사용하는 간단한 데이터에 대한 선형화 옵션입니다 .

주어진

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import FunctionTransformer


np.random.seed(123)

# General Functions
def func_exp(x, a, b, c):
    """Return values from a general exponential function."""
    return a * np.exp(b * x) + c


def func_log(x, a, b, c):
    """Return values from a general log function."""
    return a * np.log(b * x) + c


# Helper
def generate_data(func, *args, jitter=0):
    """Return a tuple of arrays with random data along a general function."""
    xs = np.linspace(1, 5, 50)
    ys = func(xs, *args)
    noise = jitter * np.random.normal(size=len(xs)) + jitter
    xs = xs.reshape(-1, 1)                                  # xs[:, np.newaxis]
    ys = (ys + noise).reshape(-1, 1)
    return xs, ys

transformer = FunctionTransformer(np.log, validate=True)

암호

지수 데이터에 적합

# Data
x_samp, y_samp = generate_data(func_exp, 2.5, 1.2, 0.7, jitter=3)
y_trans = transformer.fit_transform(y_samp)             # 1

# Regression
regressor = LinearRegression()
results = regressor.fit(x_samp, y_trans)                # 2
model = results.predict
y_fit = model(x_samp)

# Visualization
plt.scatter(x_samp, y_samp)
plt.plot(x_samp, np.exp(y_fit), "k--", label="Fit")     # 3
plt.title("Exponential Fit")

로그 데이터 맞추기

# Data
x_samp, y_samp = generate_data(func_log, 2.5, 1.2, 0.7, jitter=0.15)
x_trans = transformer.fit_transform(x_samp)             # 1

# Regression
regressor = LinearRegression()
results = regressor.fit(x_trans, y_samp)                # 2
model = results.predict
y_fit = model(x_trans)

# Visualization
plt.scatter(x_samp, y_samp)
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")             # 3
plt.title("Logarithmic Fit")

세부

일반적인 단계

1. 데이터 값에 로그 작업을 적용합니다 ( x,y 또는 둘 다)
2. 데이터를 선형화 된 모델로 회귀
3. 로 로그 작업을 "역전" np.exp()하여 원래 데이터에 맞음으로 표시

데이터가 지수 추세를 따르는 것으로 가정하면 일반적인 방정식 ⁺ 는 다음과 같습니다 .

로그 를 취하여 후자의 방정식을 선형화 할 수 있습니다 (예 : y = 절편 + 기울기 * x) .

선형화 된 방정식 ⁺⁺ 과 회귀 매개 변수가 주어지면 다음을 계산할 수 있습니다.

• A가로 채기 ( ln(A)) 를 통해
• B경유로 ( B)

선형화 기법 요약

Relationship |  Example   |     General Eqn.     |  Altered Var.  |        Linearized Eqn.  
-------------|------------|----------------------|----------------|------------------------------------------
Linear       | x          | y =     B * x    + C | -              |        y =   C    + B * x
Logarithmic  | log(x)     | y = A * log(B*x) + C | log(x)         |        y =   C    + A * (log(B) + log(x))
Exponential  | 2**x, e**x | y = A * exp(B*x) + C | log(y)         | log(y-C) = log(A) + B * x
Power        | x**2       | y =     B * x**N + C | log(x), log(y) | log(y-C) = log(B) + N * log(x)

_{⁺ 참고 : 지수 함수의 선형화는 잡음이 작고 C = 0 일 때 가장 잘 작동합니다. 주의해서 사용하십시오.}

_{⁺⁺ 참고 : x 데이터를 변경하면 지수 데이터를 선형화하는 데 도움이되지만 y 데이터를 변경하면 로그 데이터를 선형화하는 데 도움이됩니다 .}

우리는의 특징을 보여줍니다 lmfit 두 가지 문제를 해결하면서 .

주어진

import lmfit

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt


%matplotlib inline
np.random.seed(123)

# General Functions
def func_log(x, a, b, c):
    """Return values from a general log function."""
    return a * np.log(b * x) + c


# Data
x_samp = np.linspace(1, 5, 50)
_noise = np.random.normal(size=len(x_samp), scale=0.06)
y_samp = 2.5 * np.exp(1.2 * x_samp) + 0.7 + _noise
y_samp2 = 2.5 * np.log(1.2 * x_samp) + 0.7 + _noise

암호

접근법 1- lmfit모델

지수 데이터에 적합

regressor = lmfit.models.ExponentialModel()                # 1    
initial_guess = dict(amplitude=1, decay=-1)                # 2
results = regressor.fit(y_samp, x=x_samp, **initial_guess)
y_fit = results.best_fit    

plt.plot(x_samp, y_samp, "o", label="Data")
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")
plt.legend()

접근법 2-사용자 정의 모델

로그 데이터 맞추기

regressor = lmfit.Model(func_log)                          # 1
initial_guess = dict(a=1, b=.1, c=.1)                      # 2
results = regressor.fit(y_samp2, x=x_samp, **initial_guess)
y_fit = results.best_fit

plt.plot(x_samp, y_samp2, "o", label="Data")
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")
plt.legend()

세부

1. 회귀 클래스를 선택하십시오
2. 기능의 영역을 존중하는 명명 된 초기 추측

회귀 객체에서 유추 된 매개 변수를 결정할 수 있습니다. 예:

regressor.param_names
# ['decay', 'amplitude']

참고 : ExponentialModel()다음은 붕괴 기능 이며,이 중 하나는 음수 인 두 개의 매개 변수를 허용합니다.

더 많은 매개 변수ExponentialGaussianModel() 를 허용하는 항목도 참조하십시오 .

를 통해 라이브러리를 설치 하십시오 > pip install lmfit.

Wolfram은 지수 피팅 을위한 폐쇄 형 솔루션을 제공합니다 . 또한 대수 법칙 과 권력 법칙 에 적합하도록 유사한 솔루션을 제공합니다 .

나는 이것이 scipy의 curve_fit보다 더 잘 작동한다는 것을 알았습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Fit the function y = A * exp(B * x) to the data
# returns (A, B)
# From: https://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFittingExponential.html
def fit_exp(xs, ys):
    S_x2_y = 0.0
    S_y_lny = 0.0
    S_x_y = 0.0
    S_x_y_lny = 0.0
    S_y = 0.0
    for (x,y) in zip(xs, ys):
        S_x2_y += x * x * y
        S_y_lny += y * np.log(y)
        S_x_y += x * y
        S_x_y_lny += x * y * np.log(y)
        S_y += y
    #end
    a = (S_x2_y * S_y_lny - S_x_y * S_x_y_lny) / (S_y * S_x2_y - S_x_y * S_x_y)
    b = (S_y * S_x_y_lny - S_x_y * S_y_lny) / (S_y * S_x2_y - S_x_y * S_x_y)
    return (np.exp(a), b)


xs = [33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42]
ys = [3187, 3545, 4045, 4447, 4872, 5660, 5983, 6254, 6681, 7206]

(A, B) = fit_exp(xs, ys)

plt.figure()
plt.plot(xs, ys, 'o-', label='Raw Data')
plt.plot(xs, [A * np.exp(B *x) for x in xs], 'o-', label='Fit')

plt.title('Exponential Fit Test')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend(loc='best')
plt.tight_layout()
plt.show()