Numpy를 사용하여 미분을 어떻게 계산합니까?

예를 들어 함수의 미분을 어떻게 계산합니까?

y = x ² +1

사용 numpy?

x = 5에서 도함수의 값을 원한다고 가정 해 보겠습니다.

네 가지 옵션이 있습니다

1. 유한 차이
2. 자동 파생 상품
3. 상징적 차별화
4. 손으로 미분을 계산합니다.

유한 차분에는 외부 도구가 필요하지 않지만 수치 오류가 발생하기 쉬우 며 다변량 상황에있는 경우 시간이 걸릴 수 있습니다.

문제가 충분히 단순한 경우 상징적 차별화가 이상적입니다. 상징적 방법은 요즘 상당히 강력 해지고 있습니다. SymPy 는 NumPy와 잘 통합되는 훌륭한 프로젝트입니다. autowrap 또는 lambdify 함수를 보거나 비슷한 질문에 대한 Jensen의 블로그 게시물을 확인하십시오. .

자동 도함수는 매우 멋지고 숫자 오류가 발생하기 쉽지 않지만 몇 가지 추가 라이브러리가 필요합니다 (Google에서는 몇 가지 좋은 옵션이 있습니다). 이것은 가장 견고하지만 가장 정교하고 설정하기 어려운 선택입니다. 자신을 numpy구문으로 제한 하는 것이 좋다면 Theano 가 좋은 선택 일 수 있습니다.

다음은 SymPy를 사용한 예입니다.

In [1]: from sympy import *
In [2]: import numpy as np
In [3]: x = Symbol('x')
In [4]: y = x**2 + 1
In [5]: yprime = y.diff(x)
In [6]: yprime
Out[6]: 2⋅x

In [7]: f = lambdify(x, yprime, 'numpy')
In [8]: f(np.ones(5))
Out[8]: [ 2.  2.  2.  2.  2.]

내가 생각할 수있는 가장 간단한 방법은 numpy의 그래디언트 함수를 사용하는 것입니다 .

x = numpy.linspace(0,10,1000)
dx = x[1]-x[0]
y = x**2 + 1
dydx = numpy.gradient(y, dx)

이런 식으로 dydx는 중심 차이를 사용하여 계산되고 순방향 차이를 사용하고 (n-1) 크기 벡터를 반환하는 numpy.diff와 달리 y와 길이가 같습니다.

NumPy는 도함수를 계산하는 일반적인 기능을 제공하지 않습니다. 그러나 다항식의 간단한 특수 사례를 처리 할 수 ​​있습니다.

>>> p = numpy.poly1d([1, 0, 1])
>>> print p
   2
1 x + 1
>>> q = p.deriv()
>>> print q
2 x
>>> q(5)
10

도함수를 수치 적으로 계산하려는 경우 대부분의 응용 프로그램에 대해 중심 차이 몫을 사용하지 않아도됩니다. 단일 지점의 미분의 경우 공식은 다음과 같습니다.

x = 5.0
eps = numpy.sqrt(numpy.finfo(float).eps) * (1.0 + x)
print (p(x + eps) - p(x - eps)) / (2.0 * eps * x)

함수 값 x의 해당 배열 y이 있는 가로 좌표 배열이있는 경우 다음을 사용하여 도함수의 근사값을 계산할 수 있습니다.

numpy.diff(y) / numpy.diff(x)

을 사용하고 싶다고 가정하면 Rigorous 정의를numpy 사용하여 언제든지 함수의 미분을 수치 적으로 계산할 수 있습니다 .

def d_fun(x):
    h = 1e-5 #in theory h is an infinitesimal
    return (fun(x+h)-fun(x))/h

더 나은 결과를 위해 대칭 도함수 를 사용할 수도 있습니다 .

def d_fun(x):
    h = 1e-5
    return (fun(x+h)-fun(x-h))/(2*h)

예제를 사용하면 전체 코드는 다음과 같아야합니다.

def fun(x):
    return x**2 + 1

def d_fun(x):
    h = 1e-5
    return (fun(x+h)-fun(x-h))/(2*h)

이제 다음 에서 도함수를 수치 적으로 찾을 수 있습니다 x=5.

In [1]: d_fun(5)
Out[1]: 9.999999999621423

나는 더미에 다른 방법을 던질 것이다 ...

scipy.interpolate의 많은 보간 스플라인은 미분을 제공 할 수 있습니다. 따라서 선형 스플라인 ( k=1)을 사용하면 스플라인 의 미분 ( derivative()방법 사용)이 순방향 차이와 동일해야합니다. 확실하지는 않지만 3 차 스플라인 파생물을 사용하는 것은 3 차 스플라인을 구성하기 위해 이전과 이후의 값을 사용하기 때문에 중심 차분 파생물과 비슷할 것이라고 생각합니다.

from scipy.interpolate import InterpolatedUnivariateSpline

# Get a function that evaluates the linear spline at any x
f = InterpolatedUnivariateSpline(x, y, k=1)

# Get a function that evaluates the derivative of the linear spline at any x
dfdx = f.derivative()

# Evaluate the derivative dydx at each x location...
dydx = dfdx(x)

기울기를 계산하기 위해 기계 학습 커뮤니티는 Autograd를 사용합니다.

" numpy 코드의 파생물을 효율적으로 계산합니다. "

설치하기 위해서:

pip install autograd

예를 들면 다음과 같습니다.

import autograd.numpy as np
from autograd import grad

def fct(x):
    y = x**2+1
    return y

grad_fct = grad(fct)
print(grad_fct(1.0))

또한 다변량 함수와 같은 복잡한 함수의 기울기를 계산할 수도 있습니다.

필요한 정밀도 수준에 따라 간단한 차별화 증명을 사용하여 직접 해결할 수 있습니다.

>>> (((5 + 0.1) ** 2 + 1) - ((5) ** 2 + 1)) / 0.1
10.09999999999998
>>> (((5 + 0.01) ** 2 + 1) - ((5) ** 2 + 1)) / 0.01
10.009999999999764
>>> (((5 + 0.0000000001) ** 2 + 1) - ((5) ** 2 + 1)) / 0.0000000001
10.00000082740371

실제로 그라디언트의 한계를 잡을 수는 없지만 약간 재미 있습니다. 그래도 조심해야 해

>>> (((5+0.0000000000000001)**2+1)-((5)**2+1))/0.0000000000000001
0.0

scipy매우 간단하게 사용할 수 있습니다 .

scipy.misc.derivative(func, x0, dx=1.0, n=1, args=(), order=3)

한 지점에서 함수의 n 차 도함수를 찾습니다.

귀하의 경우 :

from scipy.misc import derivative

def f(x):
    return x**2 + 1

derivative(f, 5, dx=1e-6)
# 10.00000000139778