양자 컴퓨터가 주요 요소를 계산하는 데 왜 그렇게 좋은가요?

양자 컴퓨터에 대한 일반적인 주장 중 하나는 기존의 암호화를 "파괴"하는 능력입니다. 이는 기존의 암호화 기술이 기존의 컴퓨터에 비해 계산 비용이 많이 들지만 양자 컴퓨터에있어 사소한 문제인 주요 요소에 기반하기 때문입니다.

양자 컴퓨터의 어떤 속성으로 인해 기존 컴퓨터가 실패하고 주요 요소를 계산하는 문제에 큐빗이 어떻게 적용 되는가?

짧은 대답

$\newcommand{\modN}[1]{#1\,\operatorname{mod}\,N}\newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}}$ Quantum Computer는 알고리즘의 서브 루틴을 실행할 수 있습니다 알려진 기존의 것보다 기하 급수적으로 빠른 분해. 이것은 고전 컴퓨터가 빨리 할 수 ​​없다는 것을 의미하지는 않습니다. 오늘날 우리는 고전 알고리즘이 양자 알고리즘만큼 효율적으로 실행되는 방법을 알지 못합니다.

긴 대답

양자 컴퓨터는 이산 푸리에 변환에 능숙합니다. 여기서 " 병행 "또는 " 빠르다 " 만으로 잡히지 않는 많은 놀이가 있습니다 . 그러므로 짐승의 피에 들어 가자.

인수 분해 문제는 다음과 같다 : 숫자 감안할 때 소수 인, 복구 어떻게 와 ? 한 가지 방법은 다음을 참고하는 것입니다.p , q p $N = pq$$p,q$$p$$q$

숫자 보면 가 과 공통 인수를 공유 하거나 그렇지 않습니다.x $\modN{x}$$x$$N$

경우 공유 공통 요인, 그리고의 배수가 아닌 자체, 우리는 쉽게의 공통 요인을 무엇을 요청할 수 있습니다 와 (가장 일반적인 요인에 대한 유클리드 알고리즘을 통해)입니다.N x $x$$N$$x$$N$

이제 분명하지 않은 사실 : 과 공통 인자를 공유하지 않는 모든 집합은 곱하기 그룹 합니다. 그게 무슨 뜻이야? Wikipedia 에서 그룹의 정의를 볼 수 있습니다 . 세부 사항을 채우기 위해 그룹 작업을 곱셈으로하자. 그러나 여기서 우리가 실제로 관심을 갖는 것은 이론의 다음 결과입니다.N 모드 $x$$N$$\on{mod} N$

$$\modN{x^0}, \quad\modN{x^1}, \quad\modN{x^2}, ...$$

이 일반적인 요인을 공유하지 않을 때 (시도 , ) 주기적 으로 다음과 같이 직접 볼 수 있습니다.x = 2 N = $x,N$$x = 2$$N = 5$

$$\newcommand{\mod}[1]{#1\,\operatorname{mod}\,5} \mod1 = 1,\quad \mod4 = 4,\quad \mod8 = 3,\quad \mod{16} = 1.$$

지금 얼마나 많은 자연수 보다 어떤 공통 요인을 공유하지 않는 ? 그것은 오일러의 참을성있는 기능 에 의해 대답되며 , 그것은 입니다.N N ( p - 1 ) ( q - 1 $x$$N$$N$$(p-1)(q-1)$

마지막으로, 그룹 이론의 주제, 반복 사슬의 길이를 두드리면서

$$\modN{x^0}, \quad\modN{x^1}, \quad\modN{x^2}, ...$$

그 수를 나눕니다 . 따라서 의 거듭 제곱 시퀀스의주기를 알고 있다면 이 무엇인지 추측 할 수 있습니다 . 또한, 이 무엇인지, 그리고 가 무엇인지 알고 있다면 N은 잊어 버리지 않습니다!), 2 개의 미지수를 가진 2 개의 방정식이 있으며,이를 기초 대수를 통해 풀 수 있습니다. .x $(p-1)(q-1)$( P - 1 ) ( Q - 1 ) ( P - 1 ) ( Q - 1 ) (P)의 q를 P , $x \mod N$$(p-1)(q-1)$$(p-1)(q-1)$$pq$$p,q$

양자 컴퓨터는 어디로 들어오는가? 기간 찾기. 푸리에 변환 (Fourier transform)이라는 연산이 있는데, 함수 는주기 함수 의 합으로 쓰여집니다 여기서 는 숫자, 는주기 갖는주기 함수이며 새로운 함수 와 같이 입니다.a 1 e 1 + a 2 e 2 . . . A는 I 즉 I , P는 전 f를 F ( p는 난 ) = $g$$a_1 e_1 + a_2 e_2 ...$$a_i$$e_i$$p_i$$\hat{f}$$\hat{f}(p_i) = a_i$

컴퓨팅 푸리에 변환 일반적으로 필수로 소개되어 있지만, 당신이 원할 때 바로 데이터의 배열에 적용합니다 (I ^번째 배열의 요소는 ) 당신이라는이 도구를 사용할 수 있습니다 이산 푸리에 변환 하는 금액을 "array"에 벡터 인 것처럼 매우 큰 단위 행렬을 곱하는 것입니다.$f(I)$

단일이라는 단어에 중점을 둡니다 . 여기서 설명 된 것은 임의의 속성 입니다. 그러나 중요한 것은 다음과 같습니다.

물리 세계에서 모든 연산자는 동일한 일반 수학적 원리 인 단일성에 따릅니다 .

따라서 DFT 매트릭스 연산을 양자 연산자로 복제하는 것은 무리가 없습니다.

이제 여기에는 Qubit Array가 가능한 배열 요소를 나타낼 수있는 곳이 있습니다.$n$$2^n$

비슷하게 Qubit 양자 연산자는 전체 양자 공간 에 작용할 수 있고 우리가 해석 할 수있는 해답을 만들어냅니다.$n$$2^n$

자세한 내용은 이 Wikipedia 기사 를 참조하십시오 .

Qubits 만 사용하여 지수 적으로 큰 데이터 세트에서이 푸리에 변환을 수행 할 수 있으면 기간을 매우 빠르게 찾을 수 있습니다.$n$

기간을 매우 빨리 찾을 수 있으면 대한 추정치를 신속하게 구성 할 수 있습니다.$(p-1)(q-1)$

우리가 그렇게 빨리 할 수 ​​있다면 대한 지식이 주어지면 를 점검 할 수 있습니다 .$N=pq$$p,q$

그것은 매우 높은 수준에서 여기서 일어나는 일입니다.

퀀텀 컴퓨터가 많은 수의 팩터링을 능숙하게 만드는 이유는 기간 찾기 문제 (및 주요 요인을 찾는 것과 관련된 수학적 사실)를 해결하는 능력입니다. 기본적으로 Shor의 알고리즘입니다. 그러나 양자 컴퓨터가 시대를 찾는 데 왜 좋은지에 대한 의문 만 제기합니다.

기간 찾기의 핵심은 전체 도메인에 대해 (즉, 가능한 모든 입력에 대해) 함수의 값을 계산하는 기능입니다. 이것을 양자 병렬 처리라고합니다. 이것 자체로는 충분하지 않지만 간섭 (특정 방식으로 양자 병렬 처리 결과를 결합하는 기능)과 함께 사용하면됩니다.

이 답변이 약간의 절벽 행거라고 생각합니다. 실제로 이러한 능력을 사용하여 어떻게 고려할 수 있습니까? Shor 's algorithm의 wikipedia에서 이에 대한 답변을 찾으십시오 .

우선, Shor의 알고리즘 을 사용하여 양자 컴퓨터 ( '단일'양자 게이트를 사용하여)에서 팩토링을 수행 할 수 있습니다 .

고급 수학이나 물리학에 대한 고급 지식이 필요하지 않은 설명은 Scott Aaronson의 "Shor, I 'll do it"이라는 블로그 게시물 입니다.

그의 아이디어에 대한 간략한 요약은 다음과 같습니다.

$\mathbb{R}^2$

$\rho$

그러므로 우리의 이상한 양자 클럭은 우리가 효율적으로 인수 분해하는 데 도움이 될 수 있습니다!