양자 병렬 처리를 사용하여 한 번에 많은 함수를 계산할 수 있습니까?

양자 병렬 처리를 이용함으로써 함수를 계산할 수 있다는 것은 잘 알려져 있습니다. $f(x)$ 많은 다른 가치를 위해 $x$동시에. 그러나 각 값의 정보를 추출하려면 (예 : Deutsch의 알고리즘) 영리한 조작이 필요합니다.

반대의 경우를 생각해 우리가 계산하는 양자 병렬 처리를 사용할 수있는 많은 기능을 (예를 들어$f(x),g(x),\dots$) 단일 값 대해 동시에 ?$x_0$

정확한 답은 당신이 원하는 정확한 종류의 중첩에 달려 있습니다. 피라미드와 Niel의 답변은 모두 다음과 같은 것을 제공합니다.

$$A\sum_{t=1}^n |\,\,f_t (x)\,\,\rangle \otimes |F_t\rangle$$

여기에 다른 기능에 라벨을 붙이는 Niel을 따랐습니다 $f_1$, $f_2$등 $n$중첩하려는 총 함수 수로 또한 나는$F_t$ 함수의 일부 설명을 나타냅니다 $f_t$저장된 프로그램으로. 그만큼$A$ 상태를 정규화하기 위해 필요한 숫자 만 있으면됩니다.

이것은 단순히 $f_t(x)$. 저장된 프로그램과 얽혀 있습니다. 저장된 프로그램을 추적해야한다면$f_t(x)$. 즉, 저장된 프로그램이 '쓰레기'를 구성 할 수 있으므로 신뢰할 수있는 간섭 효과를 방지 할 수 있습니다. 아니면 그렇지 않을 수도 있습니다. 이 중첩이 계산에 어떻게 사용되는지에 달려 있습니다.

쓰레기를 없애고 싶다면 더 까다로워집니다. 예를 들어, 원하는 것이 단일이라고 가정하십시오.$U$ 그 효과가

$$U : \,\,\, | x \rangle \otimes |0\rangle^{\otimes N} \rightarrow A \sum_{t=1}^n |\,\,f_t (x)\,\,\rangle$$

가능한 모든 입력 $x$(나는 계산 기준으로 작성된 비트 문자열이라고 가정합니다). 함수가 입력보다 출력이 더 긴 경우를 대비하여 입력 측에 빈 큐 비트도 포함했습니다.

이로부터 우리는 함수가 만족해야하는 조건을 매우 빨리 찾을 수 있습니다. 입력 상태가 직교 세트를 형성하기 때문에 출력도 마찬가지입니다. 이렇게하면 이러한 방식으로 결합 할 수있는 기능의 종류가 크게 제한됩니다.

기능 $f,g,\ldots$다른 계산 브랜치에서 평가하려는 경우, 계산이 가능하도록 어떤 방식 으로든 지정 가능해야합니다 (예 : 일련의 고전적인 논리 게이트). 그리고 세트 $\{ f_1, f_2 , \ldots \}$ 계산하려는 함수 중 하나는 계산 가능해야합니다. $t$방법의 사양을 계산할 수 있어야합니다. $f_t$인수에 대해 계산해야합니다. 실제로 : 기능을 설명 할 수단이 있어야합니다.$f_t$저장된 프로그램으로. (이것은 양자 계산을 고려하기 전에도 "하나의 함수 또는 모든 함수를 계산하는 문제"$f_1, f_2, \ldots$ 입력에 $x_0$"의미가 있습니다.)

함수를 저장된 프로그램으로 지정하는 방법이 있으면 기본적으로 수행됩니다. 프로그램은 본질적으로 다른 종류의 입력으로, 중첩으로 준비하고 계산을 통해 고정 입력 또는 입력 중첩을 평가할 수 있습니다. 각 분기의 사양에 따른 기능

그렇게함으로써 comptational 이점을 얻는 것은 다른 문제이며, 함수의 특정 구조를 포함해야합니다 $f_t$ 질문을 이해하기에 충분한 정보가 있으면 간단히 "중첩 평가"를 활용할 수 있습니다.

예 ( "한 번에 많은 기능 계산"의 의미에 따라 다름)

기능을 제공하는 회로 설명 $f$ 같이 $U_f$ 그리고 회로주는 $g$ 같이 $U_g$이 작업을 수행하는 몇 가지 방법이 있습니다.

1. 큐 비트 레지스터로 시작 $\left|00x\right>$, 주 준비 $\alpha\left|01\right>+\beta\left|10\right>$처음 두 레지스터에. 이는 첫 번째 레지스터에 ¹ 을 적용하여 해당 레지스터를 상태 로 설정함으로써 수행 할 수 있습니다.$\alpha\left|0\right> + \beta\left|1\right>$ CNOT를 적용하기 전에 $I\otimes X$. 그런 다음 신청하십시오$CU_f$ 첫 번째 레지스터에서 세 번째 레지스터까지 $CU_g$ 두 번째에서 세 번째로.

   1.1. 이것은 세 번째 레지스터가 현재 상태에 있음을 나타냅니다.$\left(\alpha U_f + \beta U_g\right)\left|x\right>$초기 작업 (최대 $I\otimes X$)는 처음 두 레지스터의 반대입니다. 그러나 임의의 제어 된 단일 작업을 구현하는 데 어려움이 있고 (불필요하게 여분의 큐 비트를 사용하는) 일반적인 단일 전화 걸기를 통해 직접 구현하는 것이 더 쉬울 것입니다.$\alpha U_f + \beta U_g$. 이것은 구현하지 않습니다.$f$ ...도 아니다 $g$새롭고 다른 기능 $f+g$

   1.2. 처음 두 레지스터의 초기 동작을 반대로 바꾸지 않으면 세 번째가 얽힌 상태가됩니다.$f$ 과 $g$다른 답변에서 논의됩니다.

2. 상태로 시작 $\left|xx\right>$ 그리고 적용 $U_f$ 첫 번째 레지스터에 $U_g$두 번째로. 이는 두 기능이 동일한 상태의 사본에 독립적으로 적용되는 클래식 병렬 처리에 가장 가깝습니다. 큐 비트 수의 두 배를 요구하는 것 외에, 여기서 문제는 복제가 없기 때문에 복사하기 위해$\left|x\right>$, 그것은 알려 지거나 고전적인 상태 여야한다 (즉, 계산 기초에서 중첩을 포함하지 않아야 함). 대략적인 복제 도 사용할 수 있습니다.

3. 상태로 시작 $\left|0x\right>$뿐만 아니라 클래식 레지스터. 단일 적용 ¹ 중첩 상기 제 1 레지스터를 넣어$\alpha\left|0\right>+\beta\left|1\right>$. 이제이 레지스터를 측정 하고 (클래식 레지스터에 결과 입력) 클래식 작업을 적용하십시오 IF RESULT = 0 U_f ELSE U_g. 이것은 위의 작업 중 어느 것보다 강력하지 않은 것처럼 보일 수 있지만 이것은 양자 채널과 동등한 의미입니다.$\mathcal E\left(\rho\right) = \lvert\alpha\rvert^2U_f\rho U_f^\dagger + \lvert\beta\rvert^2U_g\rho U_g^\dagger$. 이러한 방법은 무작위 단일화를 만드는 데 사용될 수 있으며, 예를 들어 boson 샘플링 및 무작위 벤치마킹에 적용 할 수 있습니다.

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^{에 의해 주어진 1}

$$\begin{pmatrix}\alpha &&-\beta^* \\ \beta && \alpha^*\end{pmatrix}$$

Yes, one can. The trick is to define (and implement) a new function $f_\mathrm{all}(y,x)$ that evaluates to $f(x)$ if $y=0$, to $g(x)$ if $y=1$, etc. Then one prepares the qubits representing $y$ in the desired superposition and set $x$ to $x_0$.