양자 인수 분해가 가치가 있도록하는 최소 정수 값은 무엇입니까?

실험적으로 수학 인수 분해의 각 기본 논리 연산이 고전 및 양자 인수 분해에서 동일한 시간 비용이 소요되도록 양자 및 클래식 컴퓨터가 있다고 가정 해 봅시다. 이는 양자 진행이 고전보다 빠르지 않은 가장 낮은 정수 값입니다. 하나?

Shor 알고리즘의 양자 부분은 본질적으로 중첩과 푸리에 변환, 측정에 의해 수행되는 단일 모듈 식 지수입니다. 모듈 식 지수는 가장 비싼 부분입니다.

수학적 인수 분해의 각 기본 논리 연산이 고전 및 양자 인수 분해에서 동일한 시간이 소요된다고 가정하자.

모듈 식 지수가 고전 컴퓨터에서와 같이 양자 컴퓨터에서 정확히 시간이 걸린다고 가정한다면, 양자 계산이 더 나은 전환은 매우 적은 수에서 일어날 것입니다. 반복적 인 제곱을 사용할 수 있기 때문에 모듈 식 지수 계산은 고전적으로 매우 빠릅니다. 나는 당신이 30 비트 숫자 (십억 이상 숫자)에 도달하기 전에도 크로스 오버가 일어날 것으로 예상합니다.

그러나 양자 컴퓨터는 고전 컴퓨터만큼 빠른 속도로 수학을하지 않을 것 입니다. 예를 들어 랩톱에서 파이썬으로 1000 비트 모듈 식 지수를 1 초 안에 할 수 있습니다. 그러나 예측 가능한 양자 컴퓨터에서는 몇 시간 또는 며칠이 걸릴 것입니다. 문제는 AND 게이트 비용의 막대한 차이입니다.

$|T\rangle$

따라서 초당 백만 개의 T 상태를 가져 와서 기존 머신과 비교하기 위해 64 비트 추가 속도로 변환하려고한다고 가정합니다. 64 비트 추가에는 64 개의 AND 게이트가 필요하며 각각 4 개의 T 게이트가 필요합니다. 백만 개를 4로 나눈 값을 64로 나눈 값은 약 4KHz입니다. 대조적으로, 클래식 머신은 초당 10 억 번의 추가 작업을 쉽게 수행합니다. 양자 가산기는 고전 가산기보다 백만 배 더 느립니다 (다시 말해서 거칠게 추정하며이 숫자는 시간이 지남에 따라 개선되어야 함을 명심하십시오).

고려해야 할 또 다른 요소는 양자 및 클래식 컴퓨터의 비용이 다르다는 것입니다. 1 억 달러가 있고 한 대의 양자 컴퓨터와 수천 대의 클래식 컴퓨터 중 하나를 선택한다면, 1000의 요소를 고려해야합니다. 이런 점에서 양자 가산기는 기존 가산기보다 FLOPS / $보다 10 배나 덜 효율적 이라고 말할 수 있습니다.

10 억 달러 의 일정한 요소 벌칙 은 일반적으로 즉각적인 거래 차단기입니다. 그리고 Grover와 같이 단순한 2 차적 이점을 가진 양자 알고리즘의 경우, 이것이 실제로는 거래 차단기라고 주장합니다. 그러나 Shor의 알고리즘은 고전적인 전략에 비해 기수 적으로 비트 수를 고려할 때 기하 급수적으로 향상됩니다. 우리가 지수 증가에 유리하게 "정확하게"10 ^ 9 상수를 먹기 전에 몇 비트를 먹었습니까?

것을 고려 RSA-640가 고려 된 33 CPU 년 ~ 사용 2005 년. 양자 컴퓨터는 하루 안에 그 숫자를 할 수 있어야합니다. 이 문제를 해결하기 위해 수천 대의 클래식 컴퓨터가있는 경우 약 2 주 후에 완료됩니다. 따라서 퀀텀이 640 비트로이기는 것 같지만 한두 배 정도만이기는 것 같습니다. 아마도 컷오프는 약 500 비트 어딘가에서 발생합니까?

어쨌든, 나는 이것이 어렵고 빠른 대답이 아니라는 것을 안다. 그러나 고전과 양자를 비교할 때 내가 생각할 양의 의미를 전달했으면 좋겠습니다. 아직까지도 계속 관련된 요소를 아는 사람은 아무도 없으므로 "수백 비트 어딘가"보다 적절한 견적을 줄 수 있다면 놀랄 것입니다.

의견에서 언급했듯이 매우 정확한 답변은 다소 임의적 인 많은 기술적 선택에 달려 있습니다. 크기 차수 추정값을 얻고 가능한 한 많이 계산하는 것이 더 중요합니다.

이 답변은 결정적인 답변이 아니라 기존 문헌을 참조하여 올바른 방향으로 나아가는 단계로서 (현재까지 10 년이 넘었음에도 불구하고) 구체적으로 다음과 같습니다.

• Van Meter, Itoh 및 Ladd. Shor 알고리즘의 아키텍처에 따른 실행 시간 . Proc. 메조 스코픽 초전도 + Spintronics 2006; [ arXiv : quant-ph / 0507023 ]

Van Meter, Itoh 및 Ladd는 Shor 알고리즘의 성능을 Number Field Sieve (인수 분해에 가장 잘 알려진 클래식 알고리즘)를 수행하는 사용 가능한 컴퓨팅 기술과 비교하려고합니다. 나는 논문의 세부 사항을 살펴볼 시간이 없었습니다. 그렇게함으로써 탁월한 해답을 얻을 수 있었을 것입니다. 그러나 그 기사의 그림 1은 합리적인 수치 추정을 가능하게합니다.

여기서 가파른 곡선은 고전적인 컴퓨팅 네트워크의 컴퓨팅 시간을 나타냅니다. 'NFS, 104 PC, 2003'으로 표시된 곡선은 2004 년 RSA Security Inc. [ http : //www.rsasecurity] 에 의해보고 된 바와 같이 2003 년경 1 백 4 대의 개인용 컴퓨터의 계산 (및 예상 컴퓨팅 시간)을 나타내는 것으로 보입니다 . com / rsalabs / node.asp? id = 2096] .

$n$$n \cdot v$$v$$2 \times 10^{11}$초당 작업. Shor 알고리즘의 가상 벤치마킹은 비슷한 클럭 속도로 수행하는 양자 컴퓨터에 대해 이루어져야합니다.

$10^9$

• 초당 200 회 이상의 작업 이점이 있지만 플롯은이 200GHz 클래식 NFS 구현이 Shor의 알고리즘을 수행하는 1GHz 양자 컴퓨터 (약 200 자리 숫자) 및 1MHz 양자 컴퓨터 ( 약 330 자리 숫자).
• 또한 1GHz 및 1MHz 양자 컴퓨터와의 인터셉트는 350 비트 숫자와 530 비트 숫자에있다.

2003 년의 계산에서 2018 년의 예측 된 계산에 이르기까지 양자 계산에 대한 교차점의 증가는 1000의 클럭 속도 향상을 나타내며 약 5/3의 요소입니다. 이것으로부터 우리는 200 배의 속도 증가로 인해 고전적인 컴퓨터에 의해 빠르게 풀 수있는 수의 크기에 대한 계산상의 이점이 대략 7/6이라고 추정 할 수있다. 그런 다음 Shor 알고리즘을 수행하는 1GHz 양자 컴퓨터와 함께 NFS를 수행하는 단일 1GHz 클래식 컴퓨터의 교차점이 약 170 비트 수인 것으로 추정 할 수 있습니다.

결론-정확한 답은 정확한 결과를 크게 바꿀 수있는 많은 기술적 가정에 달려 있기 때문에 대략적인 추정을하는 것이 좋습니다. 그러나이 질문은 적어도 한 번 전에 연구되었으며 2003 년 고전 성능을 기반으로 성능에 대한 몇 가지 가정과 외삽을 만들었으므로 Shor의 알고리즘은 숫자별로 연산별로 가장 잘 알려진 클래식 알고리즘보다 성능이 뛰어납니다 약 170 비트.