많은 논문은 Hamiltonian 시뮬레이션이 BQP- 완료라고 주장합니다 (예 : 모든 매개 변수에 거의 최적의 의존성을 갖는 Hamiltonian 시뮬레이션 및 Qubitization에 의한 Hamiltonian Simulation ).

양자 알고리즘을 해밀턴 시뮬레이션으로 줄일 수 있기 때문에 해밀턴 시뮬레이션이 BQP가 어렵다는 것을 쉽게 알 수 있지만 BQP의 해밀턴 시뮬레이션은 어떻습니까?

즉, BQP에서 Hamiltonian 시뮬레이션 결정 문제 는 정확히 무엇이고 Hamiltonian의 어떤 조건에서 발생합니까?

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소스

특히 Hamiltonian의 조건과 관련하여 다양한 변형이 있습니다. 예를 들어 시뮬레이션이 여전히 BQP 완료된 가장 간단한 Hamiltonian 클래스를 찾아 보는 것은 약간의 게임입니다.

$|\psi\rangle$ $H$ $\hat O$ $\|\hat O\|\leq 1$ $t$ $\langle\psi|e^{iHt}\hat O e^{-iHt}|\psi\rangle$ $\frac12+a$ $\frac12-a$ $a$ $a=\frac16$

추가 세부 사항

해밀턴 시뮬레이션은 BQP 하드

기본 구성 (원래 Feynman으로 인해 약간 조정)은 기본적으로 BQP 완료 계산을 포함하여 모든 양자 계산을 구현하는 Hamiltonian을 디자인하는 방법을 보여줍니다. 측정 할 수있는 관측 값은 특정 출력 큐 비트에서 일 뿐이며 'yes'와 'no'에 해당하는 두 가지 측정 결과입니다. $Z$

당신이 생각할 수있는 가장 간단한 해밀턴은 상태에서 시작 하여 qubits에 작용하는 순차 단위 의 계산을 고려하는 것입니다 . 그런 다음 여분의 큐 비트를 도입 하고 Hamiltonian 당신이 당신의 초기 상태를 준비하는 경우로 다음 시간 이후에 , 그것은있을 것 state 여기서 $N-1$ $U_n$ $M$ $|0\rangle^{\otimes M}$ $N$

H = \frac{2}{N} \sum_{n = 1}^{N - 1} \sqrt{n (N - n)} (| 10 ⟩ ⟨ 01 |_{n, n + 1} \otimes U + | 01 ⟩ ⟨ 10 |_{n, n + 1} \otimes U^{†}) .

$H=\frac{2}{N}\sum_{n=1}^{N-1}\sqrt{n(N-n)}\left(|10\rangle\langle 01|_{n,n+1}\otimes U+|01\rangle\langle 10|_{n,n+1}\otimes U^\dagger\right).$

| 1 ⟩ | 0 ⟩^{\otimes (N - 1)} | 0 ⟩^{\otimes M}

$|1\rangle|0\rangle^{\otimes(N-1)}|0\rangle^{\otimes M}$

N π / 4

$N\pi/4$

| 0 ⟩^{\otimes (N - 1)} | 1 ⟩ | Φ ⟩

$|0\rangle^{\otimes (N-1)}|1\rangle|\Phi\rangle$

| Φ ⟩

$|\Phi\rangle$ 원하는 계산의 출력입니다. 여기서 사용한 재미있는 결합 강도 인 은 결정 론적 진화를 제공하기 위해 특별히 선택되었으며 완벽한 상태 전이 의 개념과 관련이 있습니다. 일반적으로 동일한 커플 링으로 표현 된 결과를 볼 수 있지만 확률 적 진화입니다.

\sqrt{n (N - n)}

$\sqrt{n(N-n)}$

작동 방식을 확인하려면 상태 세트 해밀턴의 행동은 진화가 3 각형 행렬 (완전한 상태 전이에서 연구 된 특정 사항)로 표시되는 부분 공간으로 제한됨을 증명합니다 .

| ψ_{n} ⟩ = | 0 ⟩^{\otimes (n - 1)} | 1 ⟩ | 0 ⟩^{\otimes N - n} \otimes (U_{n - 1} U_{n - 2} \dots U_{1} | 0 ⟩^{\otimes M}) .

$|\psi_n\rangle=|0\rangle^{\otimes(n-1)}|1\rangle|0\rangle^{\otimes{N-n}}\otimes\left(U_{n-1}U_{n-2}\ldots U_1|0\rangle^{\otimes M}\right).$

H | ψ_{n} ⟩ = \frac{2}{N} \sqrt{(n - 1) (N + 1 - n)} | ψ_{n - 1} ⟩ + \frac{2}{N} \sqrt{n (N - n)} | ψ_{n + 1} ⟩,

$H|\psi_n\rangle=\frac2N\sqrt{(n-1)(N+1-n)}|\psi_{n-1}\rangle+\frac2N\sqrt{n(N-n)}|\psi_{n+1}\rangle,$

N \times N

$N\times N$

물론,이 Hamiltonian은 특별히 좋은 속성을 가지고 있지 않습니다. 예를 들어 지역적이지 않습니다. Hamiltonian을 단순화하기 위해 수행 할 수있는 많은 트릭이 있습니다 (예 : 1 차원). 더 복잡한 초기 제품 상태를 준비해야하는 비용으로 원한다면 번역 적으로 변하지 않을 수도 있습니다 (해당 시점에서 계산은 더 이상 Hamiltonian에서는 더 이상 인코딩되지 않으며 입력 상태에서는 인코딩 됨). . 예를 들어 여기를 참조 하십시오 .

해밀턴 시뮬레이션

시스템 크기에서 다항식 이하의 시간 동안 초기 제품 상태에서 작동하는 일부 격자에 로컬 인 Hamiltonian의 진화는 양자 컴퓨터에 의해 시뮬레이션 될 수 있으며, 효율적으로 구현 가능한 측정이 적용될 수 있습니다. 관찰 가능한 것을 추정하십시오. 이런 의미에서, Hamiltonian 시뮬레이션은 양자 계산보다 어렵지 않다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 양자 계산이 Hamiltonian 시뮬레이션보다 어렵지 않다는 이전의 진술에 대한 반론입니다.

이를 수행하는 방법에는 여러 가지가 있습니다 (해밀턴의 특정 클래스에 대한 오류 스케일링이 크게 개선 된 최근 논문이 있습니다). Hre는 매우 간단합니다. 시뮬레이션하려는 Hamiltonian 를 사용하십시오. 통근하는 각기 다른 부분 인 로 나눕니다 . 예를 들어 일부 그래프에서 가장 가까운 이웃 Hamiltonian에서는 그래프의 최대 정도보다 더 많은 조각이 필요하지 않습니다. 그런 다음 근사 따라서, 와 같은 항을 구현하는 회로를 구성하면 되며 이는 통근 항 $H$ $H_i$

e^{i H t} \approx {(e^{- i H_{1} δ t} e^{- i H_{2} δ t} \dots e^{- i H_{n} δ t})}^{t / δ t}

$e^{iHt}\approx \left(e^{-iH_1\delta t}e^{-iH_2\delta t}\ldots e^{-iH_n\delta t}\right)^{t/\delta t}$

e^{- i H_{1} δ t}

$e^{-iH_1\delta t}$

H_{1} = \sum_{n} h_{n}

$H_1=\sum_nh_n$ 각각은 적은 수의 큐 비트에서만 작동합니다. 이 용어는 소수의 용어에 불과하기 때문에 범용 양자 컴퓨터가이를 구현할 수 있습니다.

e^{- i H_{1} δ t} = \prod_{n} e^{- i h_{n} δ t}

$e^{-iH_1\delta t}=\prod_{n}e^{-ih_n\delta t}$

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