선형 방정식 시스템 (HHL09)에 대한 양자 알고리즘 : 2 단계-초기 상태 준비 및

^{이것은 선형 방정식 시스템 (HHL09)에 대한 양자 알고리즘 의 연속입니다 . 2 단계- 은 무엇입니까 ?$|\Psi_0\rangle$}

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논문 : 선형 방정식 시스템에 대한 양자 알고리즘 (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) 에서 실제 알고리즘 구현에 대한 세부 사항은 제공되지 않습니다. 어떻게 정확히 상태 및 만든, 일종의는 "중 하나입니다 블랙 박스 "(페이지 2-3 참조).$|\Psi_0\rangle$$|b\rangle$

$$|\Psi_0\rangle = \sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau = 0}^{T-1}\sin \frac{\pi (\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle$$

및

$$|b\rangle = \sum_{1}^{N}b_i|i\rangle$$

여기서 $|\Psi_0\rangle$ 은 클럭 레지스터의 초기 상태이고 $|b\rangle$ 은 입력 레지스터의 초기 상태입니다.

(Say) IBM qubit quantum 컴퓨터 에서 알고리즘을 수행하고 싶습니다 . $16$그리고 특정 방정식 를 풀고 싶습니다. 여기서 는 실수 입력 값을 가진 Hermitian 행렬이고 는 실수 입력 값을 가진 열 벡터입니다.$\mathbf{Ax=b}$$\mathbf{A}$$4\times 4$$\mathbf{b}$$4\times 1$

예를 들어 보자.

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 5 & 6 \\ 3 & 5 & 1 & 7 \\ 4 & 6 & 7 & 1 \end{bmatrix}$$

과

$$\mathbf{b}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$$

의 차원을 감안 및 , 우리는해야한다 입력 레지스터 큐빗 다른 클럭 용 큐빗 우리 고유 값이 원하는 가정 레지스터 고유 값에 대해 정확도 및 최대 비트 정밀도로 표현됩니다 (이것은 앞에서 논의 했습니다 ). 따라서이 목적을 위해 총 큐 비트가 필요합니다 (추가 큐비 트는 ancilla입니다).$\mathbf{A}$$\mathbf{b}$$\lceil{\log_2 4\rceil}=2$$6$$90\%$$3$$2+6+1=9$$1$

질문 :

1. 이 정보를 사용 하여 IBM qubit 버전 에서 초기 상태 및 을 작성할 수 있습니까?$|\Psi_0\rangle$$|b\rangle$$16$

2. 가 IBM quantum 컴퓨터에서 구현하기에는 너무 크다고 생각한다면 Hermitian matrix 대한 초기 상태 준비 의 예 를 보여줄 수도 있습니다 . 예).$4\times 4$$2\times 2$$\mathbf{A}$

IBM 16 큐 비트 양자 컴퓨터에서 이것이 가능할 수 있는지 (가능한지), 그리고 게이트가 필요한지에 대한 일반적인 아이디어 를 얻고 싶습니다 . IBM 16 큐 비트 양자 컴퓨터가 아닌 경우, QISKit 시뮬레이터 는 HHL 알고리즘에서 및 의 초기 상태 준비를 재 작성하는 데 사용할 수 있습니까? 이것에 대해 더 좋은 대안이 있습니까?$|\Psi_0\rangle$$|b\rangle$

초기 상태를 만들 수 없습니다 $\left| \Psi_0\right>$ 과 $\left|b\right>$IBM 16 qubits 버전에서. 반면 에, IBM 칩에 의해 구현 된 게이트가 이러한 가능성을 제공함에 따라 임의로 낮은 오류 ¹ 로이 를 근사화 할 수 있습니다.

여기 당신은 두 가지 양자 상태를 요구합니다 :

1. $\left| b \right>$전혀 제한되지 않습니다. 상태$\left| b \right>$ 의 벡터로 표현된다 $N$ (벡터가 단일 규범을 갖는 한) 모든 것이 될 수있는 복소수.
2. $\left| \Psi_0 \right>$ 특별한 경우로 볼 수 있습니다 $\left| b \right>$여기서 계수 $b_i$ 더 제한적입니다.

이 분석을 통해 생성에 사용할 수있는 모든 방법 $\left|b\right>$ 또한 만들 수 있습니다 $\left| \Psi_0 \right>$. 반면에$\left| \Psi_0 \right>$ 더 제한적이며 더 효율적인 알고리즘이 생성되기를 바랍니다. $\left| \Psi_0 \right>$.

에 유용한 $\left|b\right>$ 과 $\left|\Psi_0\right>$: 양자 논리 회로의 합성에 기초하여 (Shende, Bullock & Markov, 2006) QISKit Python SDK는 임의의 양자 상태를 초기화하는 일반적인 방법을 구현합니다.

에 유용한 $\left|\Psi_0\right>$: 효율적으로 통합 가능한 확률 분포에 해당하는 중첩을 생성하면 (Grover & Rudolph, 2002) 진폭이 일부 제약 조건에 대한 확률 분포를 나타내는 상태를 초기화하는 알고리즘을 신속하게 제시합니다. 이러한 제약은$\left|\Psi_0\right>$선형 방정식 시스템을 풀기위한 Quantum 알고리즘 에 따르면 (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) , 마지막 페이지 5 행.

QISKit에서의 구현을 위해 주어진 양자 상태를 초기화하는 샘플이 있습니다 :

import qiskit

statevector_backend = qiskit.get_backend('local_statevector_simulator')

###############################################################
# Make a quantum program for state initialization.
###############################################################
qubit_number = 5
Q_SPECS = {
    "name": "StatePreparation",
    "circuits": [
        {
            "name": "initializerCirc",
            "quantum_registers": [{
                "name": "qr",
                "size": qubit_number
            }],
            "classical_registers": [{
                "name": "cr",
                "size": qubit_number
            }]},
    ],
}
Q_program = qiskit.QuantumProgram(specs=Q_SPECS)

## State preparation
import numpy as np
from qiskit.extensions.quantum_initializer import _initializer

def psi_0_coefficients(qubit_number: int):
    T = 2**qubit_number
    tau = np.arange(T)
    return np.sqrt(2 / T) * np.sin(np.pi * (tau + 1/2) / T)

def get_coeffs(qubit_number: int):
    # Can be changed to anything, the initialize function will take
    # care of the initialisation.
    return np.ones((2**qubit_number,)) / np.sqrt(2**qubit_number)
    #return psi_0_coefficients(qubit_number)

circuit_prep = Q_program.get_circuit("initializerCirc")
qr = Q_program.get_quantum_register("qr")
cr = Q_program.get_classical_register('cr')
coeffs = get_coeffs(qubit_number)
_initializer.initialize(circuit_prep, coeffs, [qr[i] for i in range(len(qr))])

res = qiskit.execute(circuit_prep, statevector_backend).result()
statevector = res.get_statevector("initializerCirc")
print(statevector)

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⁽¹⁾ 여기서 "오류"는 완벽한 양자 컴퓨터 다루는 이상적인 상태와 근사값과의 오차 (즉 결 어긋남 없음 없음 게이트 오차)를 지칭한다.

4 x 4 매트릭스 A를 사용하는 HHL 알고리즘은 IBM 컴퓨터에 비해 클 수 있습니다. I는 arXiv 1302.1210 링크에 따른 알고리즘의 작은 장난감 버전을 시도 선형 방정식을 해결 시스템

내가 stackexchange 여기이 회로에 대해 조금 설명 : /cs/76525/could-a-quantum-computer-perform-linear-algebra-faster-than-a-classical-computer/ 77036 # 77036

불행히도 A = 2 x 2 매트릭스를 가진 1 큐 비트 입력일뿐입니다. 대답에 IBM 회로에 대한 링크가 제공됩니다.