^{어휘에주의하십시오 : 단어 "hamiltonian"은이 질문에서 은자 행렬에 대해 말하는 데 사용됩니다.}

---

HHL 알고리즘은 양자 계산 분야에서 활발한 연구 주제 인 것 같습니다. 주로 선형 방정식 시스템의 해를 찾는 매우 중요한 문제를 해결하기 때문입니다.

선형 방정식 시스템 (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009)을 풀기위한 Quantum 알고리즘 의 원본 논문에 따르면 이 사이트에 대한 몇 가지 질문

• 양자 위상 추정 및 HHL 알고리즘-고유 값에 대한 지식이 필요하십니까?
• 선형 방정식 시스템 (HHL09)에 대한 양자 알고리즘 : 2 단계-초기 상태 준비 및$\vert \Psi_0 \rangle$$\vert b \rangle$

HHL 알고리즘은 특정 경우로 제한됩니다. 다음은 HHL 알고리즘의 특성에 대한 요약입니다 (불완전 할 수 있습니다).

---

HHL 알고리즘

HHL 알고리즘 은 다음과 같은 한계 로 방정식 의 선형 시스템을 해결합니다 .

$$A \vert x \rangle = \vert b \rangle$$

에 제한 사항 :$A$

• $A$ 는 Hermitian이어야하며 Hermitian 매트릭스 만 작동 합니다 (채팅에서이 토론 참조 ).
• [ 0 , 1 $A$의 고유의 필요에있을 (참조 양자 위상 추정 및 HHL 알고리즘 - 고유 값에 대한 지식이 필요합니다? )$[0,1)$
• $e^{iAt}$ 은 효율적으로 구현할 수 있어야합니다. 현재이 속성을 만족하는 유일한 알려진 행렬은 다음과 같습니다.
  • 지역 hamiltonians ( 범용 양자 시뮬레이터 (Lloyd, 1996) 참조 ).
  • $s$ -spparse hamiltonians ( 단열 양자 상태 생성 및 통계 제로 지식 (Aharonov & Ta-Shma, 2003) 참조 ).

제한 사항 :$\vert b \rangle$

• $\vert b \rangle$ 은 효율적으로 준비 가능해야합니다. 다음과 같은 경우입니다.
  1. 의 특정 표현 . 예를 들어 상태 는 효율적으로 준비가 가능합니다.| B ⟩ = N ⨂ 난 = 0 ( | 0 ⟩ + | 1 $\vert b \rangle$ $$\vert b \rangle = \bigotimes_{i=0}^{n} \left( \frac{\vert 0 \rangle + \vert 1 \rangle}{\sqrt{2}} \right)$$
  2. $\vert b \rangle$효율적으로 통합 가능한 확률 분포의 이산화를 나타내는 (효율적으로 통합 가능한 확률 분포 에 해당하는 중첩 생성 (Grover & Rudolph, 2002) 참조 ).

(출력) 에 대한 제한 사항 :$\vert x \rangle$

• | X ⟩ ⟨ X | 남 | X $\vert x \rangle$ 을 완전히 복구 할 수 없습니다. 에서 복구 할 수있는 유일한 정보는 과 같은 "일반 정보"( "예상 값"은 원본 HHL 용지에 사용 된 용어 임)입니다.$\vert x \rangle$ $$\langle x\vert M\vert x \rangle$$

---

질문 : 이러한 모든 제한 사항 을 고려 하고 내결함성이있는 대규모 양자 칩 (예 : 하드웨어에 의해 제한되지 않음)이있는 2050 년 (또는 2025 년에 알고있는 사람)은 실제 문제 HHL 알고리즘으로 해결할 수 있습니까 (HHL이 서브 루틴으로 만 사용되는 문제 포함)?

나는 2D 타겟 (Scherer, Valiron, Mau, Alexander, van den Berg & Chapuran, 2016)의 전자기 산란 단면을 계산하는 데 사용되는 양자 선형 시스템 알고리즘의 콘크리트 자원 분석 및 해당 구현 에 대해 알고 있습니다 . Quipper 프로그래밍 언어는 내가 HHL이 실제로 적용하는 다른 실제 사례를 찾고 있어요. 나는 출판되지 않은 논문조차도 출판 된 논문을 필요로하지 않으며, 단지 실제 사용 사례의 예를 갖고 싶다 .

---

편집하다:

모든 유스 케이스에 관심이 있더라도 HHL이 직접 사용되는 일부 예를 선호합니다. 즉 다른 알고리즘의 서브 루틴으로 사용되지 않습니다.

HHL로 해결할 수있는 차동 연산자의 이산화로 인한 선형 시스템의 예에 더 관심이 있습니다.

그러나 여러분이 알고있는 모든 유스 케이스 (서브 루틴에 관계없이)에 관심이있는 시간을 다시 한 번 강조하겠습니다 .

그것은에 도시 된 몇 년 전에 양자 알고리즘과 유한 요소법 HHL 알고리즘은이며, 유한 요소법 (FEM)에 적용될 수 있다는 Montanaro 및 지켜봐야 의해 효율적 경계 값 솔루션 수치 근사치를 구하는 "기법 유한 메쉬를 통해 매개 변수 공간을 이산화하여 부분 미분 방정식에 대한 문제 (BVP) .

이러한 맥락에서 HHL은 표준 고전 알고리즘 ( "접합 구배 법")에 대한 다항식 속도 향상을 달성하는 데 사용될 수 있음을 보여 주었다.

실제 사용 사례와 관련하여

"일례의 응용 프로그램은 바디 와 관련된 역동적 인 문제 이며, 이는 차원 2n의 구성 공간에 정의 된 PDE를 해결 함을 의미합니다. 또한 수학적 재무 문제의 경우 상당한 이점이있을 수 있습니다 (예 : 다중 자산 옵션 가격 책정은 -자산 수에 의해 주어진 차원을 가진 영역에 대한 방정식을 학교$n$

이것은 HHL에 대한 잠재적 유스 케이스의 전체 영역을 엽니 다 ( 의 희소성 조건 이 충족 될 수 있다고 가정 ).$A$

레 벤트 로스트 (Rebentrost) 등. 최근 Hopfield 네트워크의 에너지 기능 최적화를 위해 A Quantum Hopfield Neural Network (2018) 논문 에서 HHL09 알고리즘을 사용했습니다 .

기본적으로 Lagrangian (네트워크 에너지 제약 조건 을 최적화하는 데 사용되는 경우 )은 다음과 같습니다.$E = -\frac{1}{2}x^{T}Wx + \theta^Tx$$Px - x^{\text{(inc)}} = 0$

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{2}x^{T}Wx + \theta^Tx - \lambda^T (Px - x^{\text{(inc)}}) + \frac{\gamma}{2}x^T x$$ 다음 최적화 방정식 및 은 형식으로 쓸 수 있습니다 . 식 의 는 정규화 매개 변수입니다. 우리 는 제약 영향을받는 네트워크 에너지를 극단화하는 를 찾아야 하므로 행렬 반전 기술이 필요합니다. 논문에서 그들은 정확히 그 일을했으며 행렬 반전을 위해 HHL09 알고리즘을 사용했습니다. 용지의 4 페이지를 참조하십시오.$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 0$$A \mathbf{v} = \mathbf{w}$$\gamma$$\mathbf{v}$$Px = x^{(\text{inc})}$

---

요컨대, 우리가 충분히 많은 수의 큐 비트와 분리 시간을 가진 양자 컴퓨터를 갖게되면 HHL 알고리즘은 (거의 모든 기계 학습과 신경망 때문에 거의 모든 기계 학습 알고리즘에 가장 유용한 서브 루틴 중 하나가 될 것입니다) 알고리즘에는 어떤 형태의 "그라데이션 디센트"또는 "최적화"가 포함됩니다.