양자 상태는 단위 벡터입니다… 어느 규범과 관련하여?

내가 발견 한 양자 상태의 가장 일반적인 정의는 ( Wikipedia 에서 정의를 해석하는 것입니다 )

양자 상태는 복소수에 걸쳐 유한 또는 무한 차원의 힐버트 공간에서 광선으로 표현된다.

또한, 유용한 표현을하기 위해서는 양자 상태를 나타내는 벡터 가 단위 벡터 라는 것을 보장해야합니다 .

그러나 위의 정의에서, 그들은 힐버트 공간과 관련된 규범 (또는 스칼라 곱)을 정확하지 않습니다. 언뜻보기에 나는 규범이 실제로 중요하지 않다고 생각했지만 어제 규범이 모든 곳 에서 유클리드 규범 (2-norm)으로 선택 되었다는 것을 깨달았습니다 . 브라켓 표기 조차도 유클리드 표준을 위해 특별히 만들어진 것으로 보입니다.

내 질문 : 왜 유클리드 표준이 모든 곳에서 사용됩니까? 왜 다른 표준을 사용하지 않습니까? 유클리드 표준에는 다른 사람이 할 수없는 양자 역학에 사용할 수있는 유용한 속성이 있습니까?

Born 's rule 은 측정 후 상태에서 양자 시스템을 찾을 확률 인 라고 말합니다 . 모든 에 대한 합 (또는 정수!) 이 1이되어야합니다.| X ⟩ $|\psi(x)|^2 = P(x)$$|x\rangle$$x$

$$\begin{align} \sum_x P_x &= \sum_x |\psi_x|^2 = 1,\\ \int P(x)dx &= \int |\psi(x)|^2 dx= 1. \end{align}$$

이것들은 동 질적 이지 않기 때문에 유효한 규범이 아닙니다 . 제곱근을 수행하여 간단히 균질하게 만들 수 있습니다.

$$\begin{align} \sqrt{\sum_x |\psi_x|^2} = 1,\\ \sqrt{\int |\psi(x)|^2dx} = 1. \end{align}$$

그리고 이것을 유클리드 표준으로, 유클리드 표준을 비 이종 도메인으로 일반화 한 것으로 인식 할 수 있습니다. 우리는 다른 표준을 사용할 수도 있습니다.

$$\begin{align} \sqrt{\sum_x \psi_x A \psi_x^*} = 1,\\ \sqrt{\int \psi(x)A\psi^*(x)} = 1, \end{align}$$

양의 명확한 행렬 / 함수 A.

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그러나와 -norm때문에 예를 들어 유용한로하지 않을 것입니다 :p > $p$$p>2$

$$\begin{align} \sqrt[5]{\sum_x |\psi_x|^5} \\ \end{align}$$

1 일 필요는 없습니다.

이런 식으로 유클리드 표준은 특별하다. 왜냐하면 2는 양자 역학의 가정 중 하나 인 Born 's rule의 힘이기 때문이다.

일부 용어는 여기에서 약간 혼란스러워 보입니다. 양자 상태는 길이가 1 인 복소수 벡터로 유한 유한 힐베르트 공간 내에서 표현되며, 여기서 길이는 유클리드 표준에 의해 측정됩니다. 단위는 벡터가 아니라 행렬의 분류이므로 단위가 아닙니다.

양자 상태는 일부 매트릭스에 따라 변경 / 진화됩니다. 양자 상태의 길이가 1이라고 가정하면, 순수 상태를 순수 상태로 매핑하는 것이 단일 행렬로 설명되는 것이 필요하고 충분하다는 것이 밝혀졌습니다. 이것들은 (유클리드) 규범을 유지하는 유일한 행렬입니다.

" 우리의 양자 상태에 다른 ( ) 규범을 사용할 수 있을까요?" 정규화 된 상태를 정규화 된 상태로 매핑하는 작업을 분류하면 엄청나게 제한됩니다. 경우 유일한 유효 동작 (각 요소에 대해 상이한 위상으로) 순열 행렬이다. 물리학은 훨씬 더 지루할 것입니다.p ≠ $p$$p\neq 2$

이 느낌을 얻는 좋은 방법은 2D 축 세트를 그리는 것입니다. 다른 노름 에서 길이 1의 포인트 세트에 해당하는 모양을 그 립니다. 는 원을, 은 다이아몬드를, 는 사각형을 나타냅니다. 모양을 자체에 매핑하는 작업은 무엇입니까? 원의 경우 회전입니다. 다른 것은 배수로 회전하는 것 입니다. 다음은 Wikipedia에서 온 것입니다.p = 2 p = 1 p → ∞ π /$p$$p=2$$p=1$$p\rightarrow\infty$$\pi/2$

자세한 내용을 보려면 여기를 참조하십시오 .

수학적 으로 norm 인 은 의 힐버트 공간 이므로 더 수학적 으로 설명합니다 .L p p=$\mathbb{R}^n$$L^p$$p=2$

벡터 로 기술 된 이론을 요구하여 우아한 인수를 도출 할 수 있습니다 . 여기서 허용되는 변환은 선형 맵 , 확률은 다음과 같습니다. 어떤 규범에 의해 주어졌고, 그지도에 의해 확률이 보존되어야한다. → v →L → $\vec v = (v_1,\dots,v_N)$$\vec v\to L\vec v$

기본적으로 세 가지 옵션 만 있습니다.

1. 결정론. 그리고 우리는 우리가 하나 개의 특정 상태에 항상 있기 때문에 벡터는 즉, 그 벡터를 필요가 없습니다 등, 그리고 의 경우에만 순열이다.$(0,1,0,0,0)$$L$

2. 고전적인 확률론. 여기서는 노름 및 확률 론적 맵을 사용합니다. 확률이다.V $1$$v_i$

3. 양자 역학. 여기서 우리는 노름 변환과 단일 변환을 사용합니다. 진폭이다.v $2$$v_i$

이것이 유일한 가능성입니다. 다른 규범의 경우 흥미로운 변형이 없습니다.

이보다 상세하고 좋은 설명을 원하는 경우에, 스콧 애런 슨의 "데모크리토스 이후 양자 컴퓨팅"이 이에 대한 강의 뿐만 아니라 논문을 .

다른 답변 은 어떤 공간을 사용하되 가중치를 사용하지 않는지 이유를 설명했습니다 .$p=2$$L^p$

당신은 에르 미트 정부 호 행렬에 넣어 수 그래서 내적이라고 . 그러나 그것은 당신을 많이 얻지 못합니다. 변수를 변경할 수도 있기 때문입니다. 편의상 이 대각선 인 경우를 고려하십시오 . 해석 될 대각선 케이스 대신 확률로서 . 따라서 변수를 바꾸지 마십시오 . 이것을 의해 각 포인트에 가중치를 부여하는 포인트 의 공간에서 함수 로 생각할 수 있습니다 .$M_{ij}$$\sum x_i^* M_{ij} y_j$$M$$M_{ii} \mid x_i \mid^2$$\mid x_i \mid^2$$M_{ii}>0$$\tilde{x}_i = \sqrt{M_{ii}} x_i$$L^2$$n$$M_{ii}$

연속 1 변수의 경우 예, 도 사용할 수 있습니다. 는 길이를 재조정합니다. 그것은 여전히 ​​완벽하게 좋은 Hilbert 공간입니다. 그러나 문제는 변환 은 대칭이어야하고 는 그것을 깨뜨린다는 것입니다. 따라서 사용하지 않을 수도 있습니다 . 어떤 목적을 위해, 그 대칭성이 존재하지 않으므로 있습니다.$L^2 (\mathbb{R} , w(x) dx)$$w(x)$$x \to x+a$$w(x)$$w(x)$$w(x) \neq 1$

어떤 경우에는 표준 양식으로 이동하지 않는 것이 좋습니다. 몇 가지 계산 방법을 뒤섞습니다. 예를 들어, 일부 숫자를 사용하는 경우 이러한 종류의 전환을 통해 오류를 줄여서 기계가 어렵거나 작은 숫자를 피할 수 있습니다.

까다로운 것은 변수를 변경 한 시점과 변경하지 않은 시점을 추적하는 것입니다. 단일 내부 작업을 수행하는 표준 내부 제품으로 변경하고 한 단계에서 변수를 변경하는 것과 다시 변수를 변경하는 것을 혼동하고 싶지 않습니다. 실수 로 등의 요인을 제거 할 가능성이 있으므로주의하십시오.$\sqrt{M_{ii}}$

여기 에 정의 된 것처럼 차원 공간 의 유클리드 표준 은 양자 상태에 사용되는 유일한 표준 은 아닙니다 .$n$

양자 상태는 n- 차원 힐버트 공간에서 정의 될 필요가 없습니다. 예를 들어, 1D 고조파 발진기의 양자 상태 는 직교 정규가 다음에 의해 정의되는 함수 입니다 :$\psi_i(x)$

$$\int \psi_i(x)\psi_j^*(x)dx.$$

경우 우리가 얻을 :$i=j$

$$\int |\psi(x)|^2dx = \int P(x)dx = 1,$$

총 확률은 1을해야하기 때문에
경우 , 우리는 기능이 직교 즉, 0을 얻는다.$i\ne j$

내가 제공 한 링크에 정의 된 바와 같이 유클리드 표준은 이 계산 가능한 수인 이산 변수에 대한 양자 상태에 더 적합 합니다. 위의 경우, ( 는 가능한 값의 수)을 셀 수 없으므로 규범은 유클리드 규범에 대해 차원 페이스로 주어진 정의에 맞지 않습니다 .n x $n$$n$$x$$n$

우리는 또한 위의 규범에 제곱근 연산자를 적용 할 수 있지만 여전히 이라는 필수 속성을 가질 수 있으며, 유클리드 규범은이 규범의 특별한 경우로 생각할 수 있습니다. 는 셀 수있는 값 중 일부만 선택할 수 있는 경우 입니다. 양자 역학에서 위의 규범을 사용하는 이유는 확률 함수 가 1에 통합되도록 보장하기 때문인데 , 이는 확률 의 정의 에 기초한 수학 법칙 입니다. 확률 이론의 모든 법칙을 만족시킬 수있는 다른 규범이 있다면 그 규범도 사용할 수 있습니다.x P ( x $\int P(x)dx=1$$x$$P(x)$