5 qubits 미만의 오류 수정 코드가없는 이유는 무엇입니까?

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나는 최근에 9 큐 비트, 7 큐 비트 및 5 큐 비트 오류 수정 코드를 읽었습니다. 그러나 왜 5 큐 비트 미만의 양자 오류 수정 코드가 없을 수 있습니까?

error-correction

— Adex
소스

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최소 5 큐 비트 (또는 qudits)가 필요하다는 증거

다음은 단일 오류 수정 ( 즉, 거리 3) 양자 오류 수정 코드가 5 큐 비트 이상 이라는 증거입니다 . 실제로, 임의 사이즈의 qudits이 일반화된다 $d$ , 및 양자에 대한 오류 정정 사이즈의 하나 이상의 보호기 qudits $d$ .

( Felix Huber가 지적한 바와 같이 , 최소 5 큐 비트가 필요하다는 원래의 증거는 Knill-Laflamme 기사 [ arXiv : quant-ph / 9604034 ] 때문입니다. 다음은 Knill-Laflamme 조건을 설명합니다. 다음은 증명 기술입니다. 요즘 더 일반적으로 사용됩니다.)

수정할 수있는 모든 양자 오류 정정 코드 $t$ 알 수없는 오류도까지 교정 할 수 $2t$ (우리는 단순히 몇 가지 큐 비트를 잃을 경우, 또는 완전히 소극, 또는 유사한된다) 삭제 오류 삭제 된 큐 비트의 위치를 알고있는 경우. [1 초. III A] *. 약간 더 일반적으로, 거리 $d$ 의 양자 에러 정정 코드는 $d-1$ 소거 에러를 허용 할 수있다 . 예를 들어 $[\![4,2,2]\!]$ 코드는 본질적으로 오류가 발생했다는 것을 알 수 있지만 어떤 유형의 오류가 발생했는지 알 수 없으므로 동일한 코드가 단일 삭제 오류로부터 보호 할 수 있기 때문에 본질적으로 오류를 전혀 수정할 수 없습니다 가설을 통해이 경우 오류가 발생하는 위치를 정확하게 알 수 있습니다.

하나의 Pauli 오류를 허용 할 수있는 모든 양자 오류 수정 코드는 두 qubits의 손실을 복구 할 수 있습니다. 이제 : $n \geqslant 2$ 큐 비트 의 양자 오류 수정 코드가 있고 단일 큐 비트 오류에 대해 하나의 큐 비트를 인코딩 한다고 가정 합니다. Alice 에게 $n-2$ 쿼 비트를, Bob에 $2$ 쿼 비트를 제공한다고 가정하면 Alice가 원래 인코딩 된 상태를 복구 할 수 있어야합니다. 경우 $n<5$ 다음 $2 \geqslant n-2$ , 그래서 밥해야 또한원래의 인코딩 된 상태를 복구하여 Alice 상태의 복제본을 얻을 수 있습니다. 이것은 복제없는 정리 (No Cloning Theorem)에 의해 배제 되었기 때문에, 대신에 우리는 $n \geqslant 5$ 를 가져야 합니다.

삭제 오류 수정시

* 내가 찾은 가장 빠른 참조는

[1] 그라스, 베스, 펠리짜리.
양자 소거 채널을위한 코드 .
물리. 개정 A 56 (pp. 33–38), 1997.
[ arXiv : quant-ph / 9610042 ]

— Knill-Laflamme 조건이 [ arXiv : quant-ph / 9604034 ]에 설명 된 후 그리 멀지 않아 코드 거리와 삭제 오류 간의 연결에 대한 원래의 증거가있을 수 있습니다. 개요는 다음과 같으며 거리 $d$ 의 오류 수정 코드에 적용됩니다 (일반화 된 Pauli 연산자를 사용하여 큐 비트 대신 모든 차원의 큐에 동일하게 적용됨).

$d-1$ 큐 비트 의 손실은 큐빗이 완전히 탈분극 화되는 채널에 의해 모델링 될 수 있으며, 그 큐비 트는 균일하게 임의의 파울리 에러에 노출되는 큐 비트에 의해 모델링 될 수있다.
이 $d-1$ 큐 비트 의 위치를 알 수 없으면 치명적입니다. 그러나 위치가 알려져 있기 때문에, Knill-Laflamme 조건에 호소하여 $d-1$ qubits의 모든 쌍 Pauli 오류를 구별 할 수 있습니다.
따라서 지워진 큐 비트를 최대 혼합 상태의 큐 비트로 대체하고 해당 $d-1$ 큐 비트 에 대해 Pauli 오류를 테스트함으로써 (임의의 Pauli 오류를 수정하는 데 사용하는 것과는 다른 수정 절차가 필요합니다.) 원래 상태.

— 닐 드 보드 랩
소스

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NB 당신이 내 대답을 공표했다면 , 원래의 증거를 확인한 것에 대해 Felix Huber의 답변 도 공표하는 것을 고려해야합니다 .

— Niel de Beaudrap

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우리가 쉽게 증명할 수있는 것은 더 작은 비 퇴화 코드 가 없다는 것 입니다.

비 생성 코드에서는 큐 비트의 2 가지 논리적 상태를 가져야하며 각 논리적 상태를 매핑하려면 가능한 각 오류에 대해 고유 한 상태를 가져야합니다. 그래서,하자 당신이 두 개의 논리 상태로, 5 큐 비트 코드를했다라고 $|0_L\rangle$ 및 $|1_L\rangle$ . 가능한 단일 큐 비트 오류 세트는 $X_1,X_2,\ldots X_5,Y_1,Y_2,\ldots,Y_5,Z_1,Z_2,\ldots,Z_5$ , 그리고 그것은 모든 주

| 0_{L} ⟩, | 1_{L} ⟩, X_{1} | 0_{L} ⟩, X_{1} | 1_{L} ⟩, X_{2} | 0_{L} ⟩, \dots

이 인수를 일반적으로 적용하면

2 + 2 \times (3 n)

$2+2\times(3n)$ 고유 한 상태 가 필요하다는 것을 알 수 있습니다. 그러나

n

$n$ 큐 비트의 경우 최대 고유 상태 수는

2^{n}

$2^n$ 입니다. 따라서 거리가 3 (즉, 하나 이상의 오류 수정) 이상의 비 변성 오류 수정 코드의 경우

2^{n} \geq 2 (3 n + 1) .

$2^n\geq 2(3n+1).$ 이것을 Quantum Hamming Bound라고합니다. 모든

n \geq 5

$n\geq 5$ 대해 이것이 사실인지 쉽게 확인할 수 있지만

경우에는 그렇지 않습니다

n < 5

$n<5$ . 실제로,

n = 5

$n=5$ 경우, 부등식은 평등이며, 결과적으로 해당 5 큐 비트 코드를 완벽한 코드라고합니다.

— 다 프트 울리
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1

해밍 바운드를 호출하지 않고 코드를 복제하지 않고이를 증명할 수 없습니까?

— Norbert Schuch

@NorbertSchuch 복제와 관련하여 알고있는 유일한 증거는 n qubit 코드가 n / 2 이상의 오류를 수정할 수 없다는 것을 보여줍니다. 다른 구조를 알고 있다면 매우 기뻐할 것입니다!

— DaftWullie

아, 그것이 @NieldeBeaudrap의 대답의 요점입니다. 쿨 :)

— DaftWullie

1

표준 인수했다 생각 : -o

— 노 베르트 SCHUCH

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다른 답변을 보완하기 위해, 양자 비 변성 오류 수정 코드에 대한 일반적인 양자 해밍 경계를 추가 할 것입니다. 이러한 경계의 수학적 공식은

2^{n - k} \geq \sum_{j = 0}^{t} (\begin{matrix} n \\ j \end{matrix}) 3^{j},

$\begin{equation} 2^{n-k}\geq\sum_{j=0}^t\pmatrix{n\\j}3^j, \end{equation}$ 여기서

n

$n$ 은 코드 워드를 형성하는 큐 비트 수를 나타냅니다.

k

$k$ 는 인코딩 된 정보 큐 비트 수입니다 (따라서 ) 결 어긋남으로부터 보호되고,

t

$t$ 의 번호

t

$t$ 코드에 의해 정정 -qubit 오류. 마찬가지로

t

$t$ 에 의해 거리와 관련

t = ⌊ \frac{d - 1}{2} ⌋

$t = \lfloor\frac{d-1}{2}\rfloor$ , 이러한 비 퇴화 양자 코드는

[[n, k, d]]

$[[n,k,d]]$ 양자 오류 정정 코드 일 것이다. 이 경계는 구면 패킹 같은 인수를 사용하여 구해

2^{n}

$2^n$ 차원 힐버트 공간이

로 분할됩니다.

2^{n - k}

$2^{n-k}$ 각 증후군에 의해 결정된 공간이 측정되므로, 각 증후군에 하나의 에러가 할당되고, 이러한 측정 된 증후군과 관련된 에러를 반전시킴으로써 복구 동작이 수행된다. 이것이 비 변성 양자 코드에 의해 정정 된 총 에러 수가 신드롬 측정에 의한 파티션 수보다 작거나 같아야하는 이유입니다.

그러나, 퇴행성 (degeneracy)은 전송 된 코드 워드에 영향을 줄 수있는 에러들 사이에 등가의 클래스가 있다는 것을 암시하는 양자 에러 정정 코드의 속성이다. 이는 동일한 신드롬을 공유하면서 전송 된 코드 워드에 영향을 미치는 오류가 있음을 의미합니다. 이는 동일한 복구 작업을 통해 이러한 퇴화 오류 클래스가 수정되므로 예상되는 더 많은 오류를 수정할 수 있습니다. 이것이 파티션보다 더 많은 에러가 이런 식으로 정정 될 수 있기 때문에 양자 해밍 바운드가이 퇴행성 에러 정정 코드를 보유하는지 여부가 알려지지 않은 이유입니다. 양자 해밍 바운드 위반에 대한 정보는 이 질문 을 참조하십시오 .

— Josu Etxezarreta Martinez
소스

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가장 빠른 참조에 짧은 설명을 추가하고 싶었습니다. 나는 이것이 5.2의 섹션에서 이미 조금 일찍 보여 졌다고 믿는다.

A Theory of Quantum Error-Correcting Codes
Emanuel Knill, Raymond Laflamme 
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9604034

구체적인 결과는 다음과 같습니다.

정리 5.1. ㅏ $(2^r,k)$ $e$ 오류 수정 양자 코드는 만족해야합니다 $r \geqslant 4e + \lceil \log k \rceil$ .

여기 $(N,K)$ 코드는 $K$ 차원 부분 공간으로 $N$ 차원 시스템; 이것은 $e$ 시스템이 큐 비트의 텐서 제품으로 분해되고 코드가 무게 오류를 정정 할 수있는 경우 오류 정정 코드 $e$ . 특히 $(2^n, 2^k)$ $e$ -error-correcting code is what we would now describe as an $[\![n,k,2e\:\!{+}1]\!]$ code. Theorem 5.1 then allows us to prove that for $k \geqslant 1$ and an odd integer $d \geqslant 3$ , an $[\![n,k,d]\!]$ code must satisfy

\begin{aligned} n & ⩾ 4 ⌈ \frac{d - 1}{2} ⌉ + ⌈ \log 2^{k} ⌉ \\ ⩾ ⌈ 4 \cdot \frac{d - 1}{2} ⌉ + ⌈ k ⌉ \\ = 2 d - 2 + k ⩾ 6 - 2 + 1 = 5. \end{aligned}

$\begin{aligned} n \;&\geqslant\; 4\bigl\lceil\tfrac{d-1}{2}\bigr\rceil + \lceil \log 2^k \rceil \\[1ex]&\geqslant\; \bigl\lceil 4 \cdot \tfrac{d-1}{2} \bigr\rceil + \lceil k \rceil \\[1ex]&=\; 2d - 2 + k \;\geqslant\; 6 - 2 + 1 \;=\; 5. \end{aligned}$

(N.B. There is a peculiarity with the dates here: the arxiv submission of above paper is April 1996, a couple of months earlier than Grassl, Beth, and Pellizzari paper submitted in Oct 1996. However, the date below the title in the pdf states a year earlier, April 1995.)

As an alternative proof, I could imagine (but haven't tested yet) that simply solving for a weight distribution that satisfies the Mac-Williams Identities should also suffice. Such a strategy is indeed used

Quantum MacWilliams Identities
Peter Shor, Raymond Laflamme
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9610040

to show that no degenerate code on five qubits exists that can correct any single errors.

— Felix Huber
소스

Excellent reference, thanks! I didn't know the Knill--Laflamme paper well enough to know that the lower bound of 5 was there as well.

— Niel de Beaudrap

Thanks for editing! About the lower bound, it seems they don't address that five qubits are needed, but only that such code must necessarily be non-degenerate.

— Felix Huber

As a side not, from the quantum Singleton bound also

n = 5

$n=5$ follows for the smallest code being able to correct any single errors. In this case, no-cloning is not required (as

d \leq n / 2 + 1

$d\leq n/2+1$ already), and the bound follows from subadditivity of the von Neumann entropy. C.f. Section 7.8.3 in Preskill's lecture notes, theory.caltech.edu/people/preskill/ph229/notes/chap7.pdf

— Felix Huber

Unless I badly misread that Section, it seems to me that they show that no error correcting code exists for

r ⩽ 4

$r \leqslant 4$ ; it seems clear that this also follows from Theorem 5.1 as well. None of their terminology suggests that their result is special to non-degenerate codes.

— Niel de Beaudrap

Sorry for the confusion. My side-comment was referring to the Quantum MacWilliams identity paper: there it was only shown that a single-error correcting five qubit code must be pure/non-degenerate. Section 5.2 in the Knill-Laflamme paper ("a theory of QECC..), as they point out, general.

— Felix Huber