해밀턴 진화 시뮬레이션

나는 양자 컴퓨터에서 Pauli 행렬의 텐서 곱으로 쓰여진 용어와 Hamiltonians의 상호 작용으로 qubits의 진화를 시뮬레이션하는 방법을 알아 내려고 노력 중입니다. 나는이 설명되어 닐슨와 추앙의 책에서 다음과 같은 트릭을 발견 한 후 형식의 해밀턴 위해를

$$H = Z_1 \otimes Z_2 \otimes ... \otimes Z_n$$ .

그러나 Pauli 행렬 $X$ 또는 $Y$ 포함한 항을 가진 Hamiltonian의 시뮬레이션이 어떻게 작동하는지 자세히 설명하지 않습니다 . I는 고려하여 Z의로 이러한 파울리의 변형 할 수 있음을 이해할 수 $HZH = X$ 여기서 $H$ 마드 게이트이고, 또한 $S^{\dagger}HZHS =Y$$S$ 위상 인 $i$ 게이트. 예를 들어 H = X ⊗ Y 와 같이 정확히 어떻게 사용해야합니까

$$H= X \otimes Y$$

이제 해밀턴 인이 Pauli 행렬의 항의 합계를 포함하면 어떻게됩니까? 예를 들어

$$H = X_1 \otimes Y_2 + Z_2 \otimes Y_3$$

$$H=\sigma_1\otimes\sigma_2\otimes\sigma_2\otimes\ldots\otimes\sigma_n$$ 형식의 Hamiltonian이 있다고 가정 해 봅시다. 시간 진화 $e^{-iHt}$ 를 구현할 수있는 간단한 회로 구성이 있습니다 . 트릭은 기본적으로 H 의 $\pm 1$ 고유 공간에 있는 구성 요소로 진화하는 상태를 분해하는 것 입니다. 그런 다음 위상 e - i t 를 + 1 고유 공간에 적용하고 위상 e - i$H$$e^{-it}$$+1$$e^{-it}$ 받는 사람$-1$고유 공간. 다음 회로는 해당 작업을 수행합니다 (그리고 끝에서 분해를 계산하지 않습니다). 나는 중간에 위상 게이트 요소가 단일 ( e i t 0 0 e - i t )을 적용한다고 가정합니다 . $$\left(\begin{array}{cc} e^{it} & 0 \\ 0 & e^{-it} \end{array}\right).$$

---

$H=H_1+H_2$$H_1$$H_2$

$$e^{-iHt}\approx \left(e^{-iH_1t/M}e^{-iH_2t/M}\right)^M$$ $M$$e^{-iH_1t/M}$

---

$$H=X\otimes Y\otimes\mathbb{I}+Z\otimes\mathbb{I}\otimes Y$$ $U=\frac{Z+Y}{\sqrt{2}}$$Y$$Z$$X$$(X+Z)$$(X-Z)$$(Z-X)$$-(X+Z)$ $$(-1)^{x_2}(X+(-1)^{x_3}Z)$$ $x_2x_3$$X+Z=\sqrt{2}H$$X\sqrt{2}HX=X-Z$$X$$X$

전반적으로, 시뮬레이션이 복잡해 보일 수 있다고 생각 하지만 시간이 지남에 따라 오류가 누적되는 작은 시간 단계는 없습니다. 자주 적용되지는 않지만 이러한 종류의 가능성을 알고 있어야합니다.

$H$$H=UDU^\dagger$$e^{it H} = U e^{it D} U^\dagger$

$H = \sigma_1\otimes\cdots\otimes \sigma_n$$\sigma_i \neq I$$i$$H$

$$H = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) Z\otimes\cdot\otimes Z (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$$

결과적으로 :

$$e^{it H} = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) e^{it Z\otimes\cdot\otimes Z} (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$$

$e^{it Z\otimes Z}$

Hamiltonian이 Pauli 제품의 합계 인 경우 일반적인 간단한 솔루션은 없지만 여러 용어로 잘린 Lie 제품 수식 을 사용하여 위의 문제로 줄일 수 있습니다.

$e^{-\Delta t H}$