PID 제어에서 극점과 영점은 무엇을 나타 냅니까?

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제어 (예 : PID 제어)에 대한 텍스트를 읽을 때마다 종종 '극점'과 '제로'를 언급합니다. 그것들은 무엇을 의미합니까? 극점 또는 영점은 어떤 물리적 상태를 나타 냅니까?

control pid

— 로켓 자석
소스

아, 우리가 통제하는 것을 배웠지 만 잊어 버렸습니다. 어떤 함수가 0 또는 무한대 (0 및 극점)에 도달하고 s 공간에서 0에서 극점으로 시작하는 곡선이 있었는지 (laplas가 변환 된 후입니까?) 또는 이와 비슷한 것이 있습니다. 나는 다이어그램이 아름답게 보였지만 다른 것을 기억하지 못한다!

— Shahbaz

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이 함수 시스템들에 입력 시스템의 출력에 맵핑하는 방법을 설명하는 전달 함수라고 부른다. $T(\mathbf{x})$

선형 시스템의 경우 전달 함수는 로 쓸 수 있습니다. 여기서 과 는 다항식입니다. 즉 $N(\mathbf{x})/D(\mathbf{x})$ $N$ $D$

T (x) = \frac{N (x)}{D (x)}

$T(\mathbf{x}) = {N(\mathbf{x})\over D(\mathbf{x})}$

시스템의 0은 명령문 을 만족시키는 값입니다 . 다시 말해, 다항식 의 근본입니다 . 마찬가지로 . 0에 접근하면, 전달 함수의 분자 (따라서 전달 함수 자체)는 값 0에 접근합니다. $x$ $N(\mathbf{x}) = 0$ $N(\mathbf{x})$ $N(\mathbf{x})$

마찬가지로 시스템의 극점은 명령문 을 만족하는 값입니다 . 다시 말해 다항식 의 근본입니다 . 때 극에 접근, 전달 함수의 분모가 0에 접근하고, 전달 함수의 값은 무한대에 접근한다. $x$ $D(\mathbf{x}) = 0$ $D(\mathbf{x})$ $D(\mathbf{x})$

극점과 영점을 통해 시스템이 다양한 입력에 어떻게 반응하는지 이해할 수 있습니다. 극점은 시스템의 안정성에 대한 정보를 제공하는 반면 영점은 주파수를 차단하는 기능에 흥미 롭습니다. 일반적으로 복소 평면 에 극점과 영점을 표시하고 극점이 복소 평면의 왼쪽 절반 (LHP-Left Half Plane)에있는 경우 시스템이 BIBO ( bounded-input bounded-output ) 안정 이라고 말합니다 .

마지막으로 컨트롤러를 설계 할 때 특정 설계 매개 변수를 달성하기 위해 실제로 극점과 영점을 조작합니다.

— 데몬 메이커
소스

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고마워, 그러나 나는 더 현명한 느낌이 없습니다. 제어 컨텍스트에서 제로와 극이 무엇을 의미 하는지 설명 할 수 있습니까 ?

— Rocketmagnet

귀하의 요청에 따라 조금 더 추가했습니다. 도움이 되길 바랍니다.

— DaemonMaker

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@Rocketmagnet의 문제는 이것이 매우 광범위한 주제라는 것입니다. 나는 아마도 당신의 질문에 답하는 책 전체를 상상할 수 있다면 너무 많이 요구하고 있습니다 .

— 마크 부스

일반인의 경우 입력 및 출력이 여기 Laplace 도메인 에 있음을 명확히해야합니다 . Mark Booth가 말했듯이 극점과 영점이 제어에 중요한 이유는 복잡한 등고선 통합과 라플라스 영역에서 미분 방정식이 대수 방정식으로 바뀔 수 있기 때문입니다. 극점은 시스템이 시간에 얼마나 많이 진동하는지 (리플), 시간에 따라 기하 급수적으로 쇠퇴하거나 커지는 방식을 모두 나타내는 것으로 생각할 수 있습니다. 그러나 전체적으로 직관을 배워야하며 빠르고 물리적 인 설명이 없습니다.

— daaxix

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이 다항식 전달 함수 는 실제로 로봇을 설명하거나 원하는 상태에서 로봇의 역학 을 선형화 한 결과 인 선형 미분 방정식에서 라플라스 변환 을 수행 할 때 발생 합니다 . 그 상태를 "테일러 확장"이라고 생각하십시오.

라플라스 변환은 푸리에 변환을 주기적이지 않은 함수로 일반화합니다. 전기 공학에서 라플라스 변환은 주파수 영역 에서 시스템의 표현으로 해석됩니다. 즉, 시스템이 입력 신호에서 주파수를 전송하는 방법을 설명합니다. 그런 다음 0은 전송되지 않는 주파수를 나타냅니다. DaemonMaker에서 이미 언급했듯이 시스템의 안정성을 고려할 때 극이 중요합니다. 시스템의 전달 기능은 극 근처에서 무한대로 진행됩니다.

제어 컨텍스트에서 의미하는 바 :

Poles : 시스템 (제어법에 따라 피드백 루프를 삽입 한 새로운 시스템 일 수도 있음)이 안정적인지 알려줍니다. 일반적으로 시스템을 안정적으로 유지하려고합니다. 따라서 시스템의 모든 극이 왼쪽 절반 평면에 있어야합니다 (즉, 극의 실제 부분은 0보다 작아야 함). 극점은 시스템 행렬 의 고유 값입니다 . 왼쪽 절반 평면에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지는 시스템이 얼마나 빨리 정지 상태로 수렴하는지 알려줍니다. 가상 축에서 멀어 질수록 시스템이 더 빨리 수렴됩니다.

영점 : 오른쪽 절반 평면이나 왼쪽 절반 평면에 극이 있지만 가상 축에 너무 가까운 경우 편리합니다. 시스템을 영리하게 수정 하여 원치 않는 극점으로 0 을 이동하여 소멸시킬 수 있습니다. 그들 .

— 다니엘 에버 츠
소스

이것을 설명하기 위해 이미지를 추가 할 수 있습니까?

— Ian

긴 결석으로 죄송합니다. 내가 지금해야 할 많은 연구 작업과 관련이 있습니다. 그래도 원하는 경우 시간이 있으면 바로 추가 할 수 있습니다.

— Daniel Eberts

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말한 것과 달리, 제어 할 플랜트의 극이 RHP에있을 때 극점 / 제로 취소는 절대 수행 되지 않습니다 . 그 이유는 극점과 영점 사이의 아주 작은 차이조차도 그것을 소멸시키기 위해 더 해져서 시스템 응답이 분기 될 것이기 때문입니다. 기억하십시오 : 절대로 !

— Ugo Pattacini

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전달 함수의 0을 실제로 말할 수는 없지만 전달 함수의 극은 확실히 의미있는 해석을합니다.

이 해석을 이해하기 위해서는, 당신은 우리가 제어하고자하는 시스템이 정말로 두 가지 중 하나라는 것을 기억해야하십시오 중 미분 방정식 또는 차 방정식을. 두 경우 모두 이러한 방정식을 해결하는 일반적인 방법은 고유 값을 결정하는 것입니다. 더 중요한 것은, 시스템이 선형 일 때, 미분 / 차 방정식의 고유 값은 전달 함수의 극점과 정확히 일치합니다. 극점을 구하면 원래 방정식의 고유 값을 얻게됩니다. 시스템의 안정성을 실제로 결정하는 것은 원래의 방정식의 고유 값입니다. 선형 시스템의 극점이 원래 방정식의 고유 값이라는 것은 놀라운 우연의 일치입니다.

이를 설명하기 위해 두 가지 경우를 별도로 고려하십시오.

사례 1 : 미분 방정식

미분 방정식의 모든 고유 값이 음의 실수 부분을 가지면 모든 궤적 (즉, 모든 솔루션)이 원점 (x = 0)의 평형 솔루션에 접근합니다. 이것은 용액 때문이다 미분 방정식은 일반적으로 지수 함수의 형태이다 기능 등 여기서 고유치이다. 따라서 경우에만 함수 을 . 그렇지 않으면 인 경우 수량 는 무한대로 크기가 커지거나 단순히 0으로 수렴하지 않을 것입니다. $x(t)=Ce^{\lambda t}$ $\lambda$ $x(t)\rightarrow 0$ $t\rightarrow \infty$ $Re(\lambda)<0$ $Re(\lambda)\ge 0$ $e^{\lambda t}$

사례 2 : 차이 방정식

차이 방정식의 모든 고유 값이 1보다 작 으면 모든 궤적 (즉, 모든 솔루션)이 원점 (x = 0)의 평형 솔루션에 접근합니다. (A)의 용액 때문이다 차분 방정식은 일반적으로 지수 함수의 형태이다 시퀀스 등 , 고유치이다. 따라서 시퀀스 은 경우에만 됩니다 . 그렇지 않으면 인 경우 수량 는 무한대로 증가하거나 단순히 0으로 수렴하지 않습니다. $x_t=C\lambda^t$ $\lambda$ $x_t\rightarrow 0$ $t\rightarrow\infty$ $|\lambda|<1$ $|\lambda|\ge 1$ $\lambda^t$

두 경우 모두 시스템 함수의 극점과 (균질 한) 미분 / 차 방정식의 고유 값은 정확히 같습니다! 제 생각에는 극치를 고유 값으로 해석하는 것이 더 합리적입니다. 고유 값은보다 자연스러운 방식으로 안정성 조건을 설명하기 때문입니다.

— 폴
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