RRT *는 최소 정리 비용 메트릭에 대한 점근 적 최적 성을 보장합니까?

최적의 샘플링 기반 모션 계획 알고리즘 $\text{RRT}^*$ ( 이 백서에서 설명 )는 계획 시간이 증가함에 따라 최적 경로로 수렴하는 충돌없는 경로를 생성하는 것으로 나타났습니다. 그러나 내가 알 수있는 한, 최적 성 증명 및 실험은 경로 비용 지표가 구성 공간에서의 유클리드 거리라고 가정했습니다. 는 경로 전체의 장애물과의 최소 간격을 최대화하는 등 다른 경로 품질 메트릭에 대한 최적의 속성을 생성 할 수 있습니까 ? $\text{RRT}^*$

최소 간극을 정의하기 위해 : 단순성을 위해 유클리드 공간에서 움직이는 로봇을 고려할 수 있습니다. 충돌이없는 구성 공간에 있는 구성 에 대해 로봇과 가장 가까운 C- 장애물 사이의 거리를 반환하는 함수를 정의하십시오 . 경로 의 경우 최소 간격 는 모든 대한 의 최소값 입니다. 최적의 운동 계획에서, 하나는 할 수있는 최대한 경로를 따라 장애물로부터 최소 간격을. 이것은 약간의 비용 메트릭 정의 의미 등이 $q$ $d(q)$ $\sigma$ $\text{min_clear}(\sigma)$ $d(q)$ $q \in \sigma$ $c(\sigma)$ $c$ 최소 클리어런스가 감소함에 따라 증가합니다. 간단한 함수 중 하나는 입니다. $c(\sigma) = \exp(-\text{min_clear}(\sigma))$

소개 하는 첫 번째 논문에서 , 경로 비용 메트릭에 대한 몇 가지 가정이 이루어 지므로 증거가 유지됩니다. 상기 최소 클리어런스 메트릭을 유지하지 않는 비용 메트릭의 가산성에 관한 가정 중 하나. 그러나 알고리즘을 설명하는 최신 저널 기사 에는 이전의 몇 가지 가정이 나열되지 않았으며 최소 정리 비용 메트릭도 알고리즘에 의해 최적화 될 수있는 것으로 보입니다. $\text{RRT}^*$

의 최적성에 대한 증거 가 최소 통관 비용 메트릭을 보유 할 수 있는지 (아마도 위에 제시 한 것이 아니라 최소가 동일한 다른) 또는 실험을 수행 했는지 여부를 아는 사람이 있습니까? 이러한 메트릭에 대한 알고리즘의 유용성을 지원합니까? $\text{RRT}^*$

— 지오 가디
소스

최소 통관 비용 측정법에 익숙하지는 않지만 그 이름으로 일반적인 아이디어를 얻습니다. 특정 기능 또는 기능 클래스입니까?

— DaemonMaker

좋은 질문 : 로봇에 따라 메트릭이 달라 지므로 유클리드 공간에서 움직이는 점성 학적 로봇을보고 있다고 가정 해 봅시다. 모든 구성에서 포인트 로봇과 가장 가까운 C 장애물 사이의 거리를 반환하는 d (q) 함수가 있습니다. 따라서 구성 공간의 경로에 대해 전체 경로의 최소 여유 공간은 경로의 모든 q에 대한 d (q)의 최소값입니다.

— giogadi

메타 질문 : 의견 및 기타 답변에서 설명이 포함 된 설명을 사용하여 원래 질문을 편집하는 것이 언제 권장됩니까?

— giogadi

이것은 좋은 메타 질문이며 Robotics meta SE 에서 더 많은 반응을 얻습니다 . ;) 그러나 명확성을 위해 질문을 편집하는 것이 일반적으로 좋습니다. 도출 된 답변이 의도 한 질문과 일치하지 않을 때 특히 그렇게하는 것이 좋습니다.

— DaemonMaker

답변:

* 참고, 는 경로 와 의 연결입니다 . 그런 다음 최소 간극으로 정의 된 는 $a|b$ $a$ $b$ $c(\cdot)$ $c(a|b)=min(c(a),c(b))$

당신은 (참조 1)을 참조하십시오 :

정리 (11), (비용 함수의 가산.) 모두를 들면 , , 비용 함수 C satis 인터넷 ES 다음 $\sigma_1$ $\sigma_2$ $\in X_{free}$ $c(\sigma_1|\sigma_2) = c(\sigma_1) + c(\sigma_2)$

다음 중 하나가되었습니다 (참조 3, 문제 2).

비용 함수는 모든 대해 단조로운 것으로 가정합니다 $\sigma_1,\sigma_2\in\Sigma:c(\sigma_1)\leq c(\sigma_1|\sigma_2)$

최소 간격 거리에는 해당되지 않습니다.

업데이트 : 경로 비용에 대한 완화 된 제한을 감안할 때 제안 된 exp (-min_clearance)가 좋습니다.

— 조쉬 밴더 훅
소스

귀하의 답변에 따르면 내가 설명한 메트릭이 실제로 잘못되었음을 알 수 있습니다. 일반적으로 경로에 대한 최소 여유 공간을 최대화하려고하므로 실제로 경로 비용이 경로의 최소 여유 공간으로 증가해야합니다. 내가 염두에 두어야 할 첫 번째 비용 함수는 c (sigma) = 1 / min_clearance (sigma)이지만 장애물 경계에서 정의되지 않은 함수로 남겨두고 RRT *는 증거가 작동하기 위해 Q_free를 닫아야한다고 생각합니다. . 경계 문제를 제외하고이 새로운 비용 함수는 증거가 요구하는대로 단조로울 것입니다.

— giogadi

경계 문제를 피하는 간단한 비용 함수가 c (sigma) = -min_clearance (sigma) 일 수 있다고 가정하지만, 부정적 메트릭이 RRT * 증거의 다른 부분에 어떤

— 영향을 미칠지 잘 모르겠습니다

이 논문은 비용

0을 명시 적으로 가정 합니다. 당신은 몇 가지로 구성 공간을 확장 할 수 있습니다

의 경계를 감동의 특이성을 해결하기 위해,하지만 논문은 또한 가정

-clearance을하고, 그 변경과 충돌이 발생할 수 있습니다

. 나는 당신이 지금 다른 질문에 대답하려고 노력하고 있다고 생각합니다.이 토론에는 약간의 토론이 필요할 수 있습니다.이 형식으로는 쉽지 않습니다.

\geq

$\geq$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

δ

$\delta$

X_{f r e e}

$X_{free}$

— Josh Vander Hook

다른 가능한 측정 값 : C (시그마) = EXP (-min_clear (시그마))

— giogadi

지수 비용 함수가 가장 좋습니다.

— Josh Vander Hook

A의 이전 대답 , 우리는 비용 함수가 정의에 동의했다

$c(\sigma) = \text{exp}(-\text{min_clear}(\sigma))$

이 메트릭에서 RRT *가 점근 최적을 생성하는 데 필요한 속성을 충족합니다.

그러나 RRT *를 설명하는 IJRR 기사를 검토 할 때이 비용 함수는 기사에서 작성된 가정을 기술적으로 만족 시키지 않습니다 . 특히이 비용 함수는 다음과 같이 정의 된 경계 속성을 위반합니다 .

$\exists k_c \quad c(\sigma) \leq k_c\text{TV}(\sigma), \forall \sigma \in \Sigma$

$\text{TV}(\sigma)$

$\sigma_0$ $q$ 길이를 의미 $\sigma_0$ 따라서 경로 비용은 $c(\sigma_0) = \text{exp}(-d(q)) > 0$ 경계 가정에 위배됩니다. 따라서이 비용 함수는 점근 적 최적 성을 산출하기 위해 IJRR 기사에 설정된 요구 사항을 충족하지 않습니다.

RRT *가 그러한 비용 함수 하에서 무의식적으로 최적의 솔루션을 제공하지 않을지, 또는 여전히 이러한 가정이 논문의 최적 성 증명을 단순화했는지 궁금합니다.

— 지오 가디
소스