중복 효과가있는 다중 제어 루프

출력이 원하는 설정 포인트를 얼마나 잘 달성하는지에 대한 단일 출력 및 단일 오류 신호가있을 때 PID를 사용하여 폐쇄 루프 제어를 수행하는 것에 익숙합니다.

그러나 각각 하나의 출력과 하나의 오류 신호를 갖는 여러 제어 루프가 있지만 루프가 완전히 독립적이지 않다고 가정하십시오. 특히, 한 루프가 액추에이터 신호를 증가 시키면 시스템의 다른 루프에서 출력의 영향이 변경됩니다.

구체적인 예를 들어, 6 개의 조정 가능한 저항 시스템에 병렬로 전압을인가하여 저항과 직렬로 연결된 전압원을 상상해보십시오. 각 저항을 통해 전류를 측정 할 수 있으며 저항을 조정하여 각 저항의 전류를 독립적으로 제어하려고합니다. 물론 여기서 비결은 하나의 저항의 저항을 조정하면 병렬 세트의 전체 저항이 변경되므로 전압 소스의 저항으로 분배기로 인한 전압 강하가 변경되어 다른 저항을 통한 전류가 변경된다는 것입니다 .

이제 우리는이 시스템에 이상적인 모델을 가지고 있으므로 일련의 선형 방정식을 해결하여 모든 저항에 동시에 사용해야하는 저항을 예측할 수 있습니다. 그러나 폐 루프 제어의 요점은 이상적인 모델에서 벗어난 시스템에서 알려지지 않은 다양한 오류 / 바이어스를 수정하려는 것입니다. 그렇다면 이런 종류의 교차 결합 모델을 사용할 때 폐쇄 루프 제어를 구현하는 좋은 방법은 무엇입니까?

control pid

— 댄 브라이언트
소스

통상적으로 m ultiple 난 nput, m ultiple O utput (MIMO) 시스템, 제어 엔지니어는 사용 상태 피드백 제어기 . 이 스타일의 컨트롤러 는 시스템 의 상태 공간 모델 을 활용 하며 일반적으로 다음과 같은 형식을 취합니다.

\dot{x} = A x + B u y = C x + D u

$\dot{x}=\mbox{A}x+\mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

어디 $x$ 상태로 구성된 벡터입니다. $u$ 입력으로 구성된 벡터입니다. $y$ 출력으로 구성된 벡터이며 상태의 시간 미분입니다. $\dot{x}$ , 상태 조합에 따라 결정되는 시간에 따른 상태의 변화를 보여줍니다. $\mbox{A}$ 그리고 입력 $\mbox{B}$ . 출력은 상태와 입력 간의 상호 작용에 의해 결정되지만 출력은 임의의 조합이 될 수 있으므로 출력 상태와 입력 행렬이 다릅니다. $\mbox{C}$ 과 $\mbox{D}$ .

상태 피드백 제어에 대해 자세히 다루지는 않지만 일반적으로 행렬 $\mbox{A} \rightarrow \mbox{D}$ "지도"또는 특정 상태 또는 입력을 다른 상태 또는 입력에 연결합니다. 예를 들어 관련없는 미분 방정식 시스템을 모델링하려는 경우 다음과 같은 결과가 나타납니다.

\dot{x} = [\begin{array}{ccc} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ {\dot{x}}_{3} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} k_{1} & 0 & 0 \\ 0 & k_{2} & 0 \\ 0 & 0 & k_{3} \end{array}] [\begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}]

$\dot{x} = \left[ \begin{array}{ccc} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} k_1 & 0 & 0 \\ 0 & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right]$ 이는 다음을 나타냅니다.

{\dot{x}}_{1} = k_{1} x_{1} {\dot{x}}_{2} = k_{2} x_{2} {\dot{x}}_{3} = k_{3} x_{3}

$\dot{x}_1 = k_1 x_1 \\ \dot{x}_2 = k_2 x_2 \\ \dot{x}_3 = k_3 x_3 \\$

입력을 추가하려는 경우 $u_1$ 에 대한 방정식 $\dot{x}_1$ 그리고 입력 $u_2$ 에 $\dot{x}_3$ 을 추가하면 $\mbox{B}u$ 기간:

\dot{x} = [\begin{array}{ccc} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ {\dot{x}}_{3} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} k_{1} & 0 & 0 \\ 0 & k_{2} & 0 \\ 0 & 0 & k_{3} \end{array}] [\begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{ccc} u_{1} \\ u_{2} \end{array}]

이것을 유지하고 싶지만 그 상태를 생각한다면 $x_1$ 방법에 기여 $x_2$ 변경 사항이 있으면 해당 상호 작용을 추가 할 수 있습니다.

\dot{x} = [\begin{array}{ccc} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ {\dot{x}}_{3} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} k_{1} & 0 & 0 \\ k_{x_{1} \to x_{2}} & k_{2} & 0 \\ 0 & 0 & k_{3} \end{array}] [\begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{ccc} u_{1} \\ u_{2} \end{array}]

$\dot{x} = \left[ \begin{array}{ccc} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} k_1 & 0 & 0 \\ \boxed{ k_{x_1 \rightarrow x_2} } & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} u_1 \\ u_2 \end{array} \right]$

지금 작성하면 다음과 같은 이점이 있습니다.

\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} & = & k_{1} x_{1} + u_{1} \\ {\dot{x}}_{2} & = & k_{x_{1} \to x_{2}} x_{1} + k_{2} x_{2} \\ {\dot{x}}_{3} & = & k_{3} x_{3} + u_{2} \end{matrix}

$\begin{array} \\ \dot{x}_1 & = & k_1 x_1 + u_1 \\ \dot{x}_2 & = & k_{x_1 \rightarrow x_2}x_1 + k_2 x_2 \\ \dot{x}_3 & = & k_3 x_3 + u_2 \end{array}$

시스템이 요구하는대로 복잡성을 계속 구축 할 수 있습니다. 상태 피드백 제어를위한 모델이 있으면 시스템에 선형 함수가 있는지, 시스템에 삼각 함수가 없거나 하나의 상태에 자체 또는 다른 상태를 곱하지 않는지 확인하고 시간이 변하지 않는지 확인해야합니다 . 그 매트릭스에서 $\mbox{A} \rightarrow \mbox{D}$ 시간이 지남에 따라 변하지 않습니다-(t)의 기능이 없습니다. 작은 각도 근사 와 같은 단순화를 통해 $\mbox{A}$ 다음 단계에 필요한 LTI 형식 으로 매트릭스 .

이제 전체 시스템을 처음 표시 한 깔끔한 두 방정식으로 "마스크"할 수 있습니다. $\mbox{A}$ Laplace 변환 을 사용 하면 시스템의 제어되지 않은 개방 루프 역학을 (수 동파) 평가할 수 있습니다. 시스템 응답을 나타내는 시스템 폴을 찾아서이를 수행합니다 .

또한 시스템을 평가하여 제어 가능한지 여부 를 확인할 수 있습니다. 즉, 입력을 사용하여 모든 상태를 고유 한 방식으로 변경하고 관찰 가능한지 여부 를 확인할 수 있습니다. 상태는

시스템을 제어 할 수있는 경우 상태에 대한 정보를 얻을 수 있습니다. $-\mbox{G}x$ 상태에 대한 정보를 사용하여 원하는 값으로 구동하여 시스템에 공급하십시오. 제어 신호를 입력에 추가 할 때 명확성을 위해 두 개의 초기 방정식 만 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

\dot{x} = A x + B (u - G x) y = C x + D u

$\dot{x} = \mbox{A}x + \mbox{B}(u - \mbox{G}x) \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

다음과 같이됩니다.

\dot{x} = A x - BG x + B u y = C x + D u

$\dot{x} = \mbox{A}x - \mbox{BG}x + \mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

다음과 같이 재 배열 할 수 있습니다.

\dot{x} = [A - BG] x + B u y = C x + D u

$\dot{x} = [\mbox{A}-\mbox{BG}]x + \mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

시스템 응답이 발생하기 전에 $\mbox{A}$ 매트릭스, 이제는 $\mbox{A-BG}$ . 라플라스 변환을 통해 극점을 다시 평가할 수 있지만 이제 게인 매트릭스가 있습니다. $\mbox{G}$ 컨트롤러를 튜닝하고 원하는 곳에 극을 놓으면 원하는 시간에 응답 할 수 있습니다.

실제 시스템 출력을 비교하기 위해 옵저버 설정으로 프로세스가 계속됩니다. $y$ 모델의 예상 출력 $\hat{y}$ . 여기서 출력이 상태 미분 방정식에서 사용하는 것과 동일한 상태 조합 일 필요는 없습니다. 상태가 전류 일 수 있습니다. 출력은 전압 일 수 있습니다 ( $R\times I$ ) 따라서 실제 시스템에서 측정 가능한 신호와 비교할 수 있습니다.

내가 말했듯이하는이 t 나는 이것이 당신이 당신의 질문을 찾고 있었다 범위 믿습니다으로 시스템을 모델링하고 상태 피드백 컨트롤러 설계와 관련된 정보가, 난 그냥 일반적인 과정을 설명했다.

— 척
소스

감사합니다. 이것은 몇 가지 추가 연구를위한 훌륭한 기초입니다.

— Dan Bryant

큰 대답, tl; dr; SISO 시스템을 설명하는 스칼라 값이 MIMO 시스템의 행렬이되면 "교차 결합"은 행렬의 비 대각선 값에서 볼 수 있습니다.

— 굽힘 장치 22