불연속 Galerkin : 노드 대 모달 장단점

불연속 galerkin 방법에서 솔루션을 나타내는 두 가지 일반적인 접근 방법이 있습니다 : 노드와 모달.

1. 모달 : 해는 모달 계수에 곱한 다항식을 곱한 값으로 표시됩니다. 예 : 여기서 는 일반적으로 직교 다항식 예를 들어 Legendre. 이것의 하나의 장점은 직교 다항식이 대각선 질량 행렬을 생성한다는 것이다.$u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(t) \phi_i(x)$$\phi_i$

2. 노드 : 셀은 솔루션이 정의 된 여러 노드로 구성됩니다. 셀의 재구성은 보간 다항식, 예를 들어 에 기초한다. 여기서 는 라그랑 지 다항식이다. 이것의 장점 중 하나는 직교 점에 노드를 배치하고 적분을 신속하게 평가할 수 있다는 것입니다.$u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(x,t) l_i(x)$$l_i$

복잡한 대규모의 문맥에서, ( - 자유도)는 3 차원, 유연성, 구현의 명확성 및 효율 목표 / 구조화 병렬 어플리케이션 구조화 혼합 각 방법의 비교 장점과 단점은 무엇인가?$10^6$$10^9$

나는 이미 훌륭한 문헌이있을 것이라고 확신합니다. 누군가 누군가 나에게 훌륭한 것을 지적 할 수 있다면.

아래의 절충 사항은 DG 및 스펙트럼 요소 (또는 유한 요소)에 동일하게 적용됩니다 .$p$

adaptivity 에서와 같이 요소의 순서를 변경하는 것은 기존 기본 함수가 변경되지 않기 때문에 모달베이스의 경우 더 간단합니다. 이것은 일반적으로 성능과 관련이 없지만 어쨌든 그것을 좋아하는 사람들도 있습니다. 안티 앨리어싱 기법을 위해 모달베이스를 직접 필터링 할 수도 있지만 성능 병목 현상은 아닙니다. 특수 연산자 (일반적으로 라플라시안 및 질량 행렬)의 요소 내에서 희소성을 노출하도록 모달베이스를 선택할 수도 있습니다. 이것은 가변 계수 또는 비 계통 요소에는 적용되지 않으며, 일반적으로 3D에서 사용되는 적당한 순서에 대해서는 크게 절약되지 않습니다.$p$

노드베이스는 요소 연속성의 정의를 단순화하고, 경계 조건, 접촉 등의 구현을 단순화하고, 플롯하기가 더 쉽고, 더 나은$h$불연속 연산자의 타원도 (따라서 저렴한 스무더 / 전제 조건 사용 가능). 또한 강체 모드와 같은 솔버에서 사용하는 개념을 정의하고 (단점 좌표 만 사용) 멀티 그리드 방법에서 발생하는 것과 같은 특정 그리드 전송 연산자를 정의하는 것이 더 간단합니다. 내장 된 이산화는 또한 기초를 변경할 필요없이 사전 조정을 위해 쉽게 이용할 수 있습니다. 노드 이산화는 (스펙트럼 요소 방법과 같이) 공존 구적법을 효율적으로 사용할 수 있으며, 상응하는 미적분은 에너지 절약에 좋습니다. 1 차 방정식에 대한 요소 간 결합은 노드베이스에 대해 더 희소하지만, 그렇지 않으면 모달베이스는 종종 동일한 희소성을 얻기 위해 수정됩니다.

나는이 질문에 대한 답변을보고 싶어했지만 어떻게 든 답장을하는 사람은 아무도 없습니다 ...

문헌에 관해서는, 전산 유체 역학을위한 Spectral / hp 요소법 ( 지금은 더 저렴한 소프트 커버 버전이 있습니다)과 Hesthaven과 Warburton 의 책을 정말 좋아 합니다. 이 두 가지 방법을 사용하면 메소드를 구현하는 데 도움이되는 세부 정보가 제공됩니다. Canuto, Hussaini, Quarteroni 및 Zang 의 책 은 더 이론적입니다. 이것은 또한 두 번째 책 "특수 방법 : 복잡한 형상으로의 진화 및 유체 역학으로의 응용"을 가지고 있습니다.

나는 DG 방법을 연구하지 않고 노드 대 모달의 장점을 판단하는 전문가가 아닙니다. Karniadakis & Sherwin은 지속적인 모달 확장 방법에 중점을두고 있습니다. 이 유형의 방법에서는 전역 확장의 연속성을 유지하기 위해 인터페이스의 해당 모드가 일치하도록 두 개의 인접 요소에서 모드를 재정렬해야합니다. 또한 경계 조건을 부과하면 모드가 경계의 특정 위치와 연결되지 않으므로주의를 기울여야합니다.

이 유형의 방법에 익숙한 사람이 더 자세하게 설명하기를 바랍니다.