유한 차분 법을 사용할 때 곡선 경계 조건을 처리하는 방법은 무엇입니까?

PDE를 수치 적으로 해결하는 방법에 대해 배우려고합니다.

FDM이 PDE에 대한 수많은 수치 적 방법의 기본이라고 들었 기 때문에 FDM (finite difference method)으로 시작했습니다. 지금까지 나는 FDM에 대한 기본적인 이해를 얻었고 도서관과 인터넷에서 찾은 자료를 사용하여 일정한 지역에 놓인 간단한 PDE에 대한 코드를 작성할 수 있었지만, 이상한 점은 일반적으로 거의 이야기하지 않는 자료입니다. 같은 곡선 불규칙한의 치료, 이상한 경계에 대한 이 .

또한 곡선 경계를 다루는 쉬운 방법을 본 적이 없습니다. 예를 들어, 부분 미분 방정식의 수치 해법-소개 (Morton K., Mayers D) 책 은 가장 상세하게 논의되어 있습니다 (주로 p71의 3.4 및 p199의 6.4 ). 정말 귀찮고 실망스러운 외삽.

따라서 제목에 따라 곡선 경계와 관련하여 일반적으로 FDM을 사용할 때 사람들은 어떻게 경계를 처리합니까? 다시 말해, 가장 인기있는 치료법은 무엇입니까? 아니면 PDE의 유형에 달려 있습니까?

곡선 경계를 처리하는 (적어도 상대적으로) 우아하고 고정밀 한 방법이 있습니까? 아니면 피할 수없는 고통일까요?

요즘 사람들은 실제로 곡선 경계에 FDM을 사용합니까? 그렇지 않은 경우 일반적인 방법은 무엇입니까?

도움을 주시면 감사하겠습니다.

마지막 질문에 먼저 대답하여 사람들이 요즘 곡선 경계에 FDM을 사용합니까 ? 상업적 CFD 세계에서, 2 차 정확한 유한 체적 체계는 사실상 산업 표준입니다. FD에 비해 FV (및 유한 요소 / 불연속 갤러 킨 접근 방식)의 장점 중 하나는 복잡한 경계를 훨씬 더 자연스럽게 처리하는 것입니다. FD는 많은 수치 적 방법 (FV 포함)의 기초를 제공하며 첫 번째 단계로 학습해야하지만 대규모 복잡한 문제에는 권장되지 않습니다.

$(x,y)$$\xi = \xi(x,y),\eta = \eta(x,y)$$\Delta \xi = \Delta \eta = constant$. 그러면 다음과 같은 용어를 다시 작성할 수 있습니다

$\frac{\partial (\xi,\eta)}{\partial (x,y)}$$u$

이 차체 적합 그리드 접근법은 FD의 곡선 경계를 처리하기위한 "가장 인기있는 치료법"이며 FD 방법 자체가 더 이상 복잡한 응용 분야에서 "인기"가 아니라는 경고가 있습니다. 매우 간단한 도메인을 제외하고 CFD 문헌에 여전히 등장하는 경우는 거의 없습니다.

곡선 경계는 대부분의 CFD 서적, 예를 들어 Wesseling의 11 장 또는 Ferziger 및 Peric의 8 장에서 다룹니다 .

근본적인 이론적 문제는 아니지만 곡선 경계에서 고차 방법에 대한 경계 조건을 구현하는 실질적인 복잡성은 유한 요소 방법 (불연속 Galerkin 포함)과 같은보다 기하학적으로 유연한 방법에 관심을 갖는 중요한 이유입니다. 일부 CFD 시뮬레이션에서는 구조적 유한 차이와 유한 체적 그리드가 여전히 사용되지만, 구조화되지 않은 방법이 인기를 얻고 있으며 고차 비 구조적 방법에 의해 사용되는 로컬 연산은 실제로 매우 효율적이므로 유사한 FD에 비해 효율이 크게 손실되지 않을 수 있습니다 행동 양식. (실제로 기하학적 유연성으로 인해 더 효율적입니다.)

지난 n 년 동안 고정밀 fdm 작업을 해왔습니다. 그리고 고정밀 알고리즘을 명시 적으로 개발하기위한 예로 정전기 -2 dim laplace의 방정식을 사용했습니다. 약 4 년 전까지 문제는 수평 또는 수직 라인의 잠재적 불연속 점으로 구성되었습니다. 내 이름과 fdm 높은 정밀도를 Google에 입력하면 참조를 찾을 수 있습니다. 그러나 이것은 당신의 질문이 아닙니다. 귀하의 질문은 fdm과 곡선 경계입니다. 약 1 년 전에 홍콩에서 주문 8 솔루션을 제시했습니다 ( 곡선 경계를 갖는 원통형 대칭 정전기에 대한 유한 차이 방법 참조))는 경계에 가까운 내부 점에 대해 차수 8 알고리즘을 생성했으며 경계의 반대편에 물론 점이 필요합니다. 경계의 다른쪽에있는 점들은 단순히 메쉬를 다른쪽으로 확장함으로써 거기에 놓였습니다. 이 작업을 마친 후에는 메시를 이완시킬 때 이러한 점의 값을 어떻게 찾을 수 있었습니까? 알고리즘을 사용하여 경계 (알려진 전위)에서 지점으로 통합함으로써 달성되었습니다. 그것은 합리적으로 성공했고 합리적으로 ~ <1e-11 이었지만 각각 개별적으로 제작 된 103 개의 알고리즘이 필요했고 다소 불안정하고 불안정한 형상을 찾을 수있었습니다. 위의 문제를 해결하기 위해 (하나!) 최소 알고리즘을 사용하여 솔루션을 찾았으며 (8 단계 이하) 솔루션은 상당한 견고성을 나타냅니다. 제출되었지만 이메일로 미리 인쇄 할 수 있습니다. 이 기술은 라플라스 이외의 시간 독립적 인 pde (선형 필요) 및 2보다 큰 차원으로 확장 될 수 있다고 생각합니다. 시간 의존적 문제는 고려하지 않았지만 전력 계열 기술인 기술은 적용 가능하고 적용 가능해야합니다. 데이비드