가장 큰 고유 값에 해당하는 밀도가 높은 행렬의 고유 벡터를 계산하는 가장 효율적인 방법은 무엇입니까?

밀도가 높은 실제 대칭 사각형 행렬이 있습니다. 크기는 약 1000x1000입니다. 첫 번째 주요 구성 요소를 계산 하고이 작업을 수행하는 가장 좋은 알고리즘이 무엇인지 궁금합니다.

MATLAB은 Arnoldi / Lanczos 알고리즘을 사용하는 것 같습니다 eigs. 그러나 그것에 대해 읽음으로써 나는 단순한 전력 반복에 비해 어떤 이점이 있는지 확실하지 않습니다 . 왜냐하면 내 행렬이 희소하지 않고 첫 번째 고유 벡터에만 관심이 있기 때문입니다.

이 경우 가장 빠른 알고리즘은 무엇입니까?

linear-algebra algorithms eigensystem

— 미카 피셔
소스

내 컴퓨터에서 무작위로 생성 된 1000 X 1000 대칭 행렬에서 R의 "고유"함수는 모든 고유 값과 벡터를 계산하는 데 약 1 초가 걸렸습니다. 마일리지는 다를 수 있지만 알고리즘 선택으로 인해 타이밍에 차이가 생기는 것은 아닙니다.

예, 물론입니다. 내 프로그램을 더 빠르게 실행하는 데 관심이 없습니다. 언급 된 더 복잡한 기술 이이 유스 케이스 (밀도, 첫 번째 고유 벡터 만)에서 우수하다고 간주되는지, 또는 밀도 매트릭스에 대해 다른 기술이 있는지 궁금합니다.

가장 큰 고유 값 또는 가장 작은 고유 값에 해당하는 고유 벡터를 의미합니까? 당신이 전자를 원하는 것 같습니다.

— 잭 폴슨

그렇습니다. 고유 벡터는 가장 큰 고유 값에 해당합니다.

— Mika Fischer

답변:

가장 빠른 방법은 매트릭스의 스펙트럼과 정규성에 따라 달라질 수 있지만 모든 경우 Krylov 알고리즘은 전력 반복보다 엄격하게 우수해야합니다. GW Stewart는 4 장 매트릭스 알고리즘의 3 장 , 볼륨 II : 고유 시스템 에서이 문제에 대해 잘 설명 했습니다 .

검정법은 에 우세한 고유 쌍이있는 경우 약간 제한 하면 벡터 가 우세한 고유 벡터에 대해 점점 더 정확한 근사치를 생성 한다는 관찰에 기초합니다 . 그러나, 각 단계에서, 전력 방법은 단일 벡터 만 고려 하는데, 이는 이전에 생성 된 벡터에 포함 된 정보를 버리는 것에 해당한다. 이 정보는 귀중합니다 ... " $A$ $u$ $A^k u$ $A^k u$

그리고 그는 번째 대각선 값이 ( 설정 됨)를 대각선 행렬에 대해 25 회 반복 한 후 Krylov 하위 공간이 우세한 고유 벡터를 8 배나 더 잘 캡처 함을 보여줍니다. 전원 반복. $100 \times 100$ $i$ $.95^i$ $i=0$

— 잭 폴슨
소스

흠, 나는 단지 몇 개의 고유 벡터를 원할 때 MRRR이 표준 방법이라고 생각했을 것이다.

— JM

MRRR은 대칭 3 각형 매트릭스에서 실행되므로 밀도가 높은 매트릭스에 사용하려면 먼저 유사도 변환을 통해 밀도 매트릭스를 3 각형으로 줄여야합니다. 에만

행렬 - 벡터 승산은 크릴 로프 방법에 필요한 다음

작업이 필요하다.

가

비해 매우 작은 경우 Krylov 메서드가 승리합니다.

k

$k$

O (k n^{2} + k^{2} n + k^{3})

$O(k n^2 + k^2 n + k^3)$

k

$k$

n

$n$

— 잭 폴슨 21 년

내가 참조; 어쨌든 나는 Krylov를하기 전에 먼저 3 각형 화해야한다는 인상을 받았습니다. 감사!

— JM

Lanczos는 실제로 상기 3 각형 매트릭스를 점진적으로 구축하고 있습니다.

— 잭 폴슨

전력 반복은 가장 간단하지만 위에서 언급했듯이 행렬이 매우 비정규 적이면 매우 느리게 수렴 합니다. 점근선 동작이 시작되기 전에 시퀀스가 여러 번 반복되는 것처럼 보이는 "혹"현상이 나타납니다.

행렬이 대칭이므로 RQI 반복을 고려할 수 있습니다. 대칭 경우 입방 수렴이 발생합니다 ( http://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh_quotient_iteration) .

Arnoldi 또는 Lanczos 반복을 아주 좋게 만드는 이유는 (적어도 내 의견으로는 숫자 선형 대수학을 연구하지는 않음) 매우 다재다능하다는 것입니다. 일반적으로 그들이 제공하는 고유 값과 수를 제어 할 수 있습니다. 이것은 대칭적인 경우에 특히 그렇습니다 (매트릭스가 명확한 경우 더 좋습니다). 대칭 문제의 경우 매우 강력합니다. 블랙 박스로서 그들은 잘 작동하지만 매트릭스와 관련된 시스템을 해결할 수있는 능력과 같은 새로운 문제 정보를 매우 잘 받아들입니다.

— 리드 애치슨
소스