많은 변수의 수치 적분

하자 및 이 변수의 함수가 되십시오. $\vec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in [0,1]^n$ $f(\vec{x}): [0,1]^n \to \mathbb{C}$

이 반복 적분에 대한 재귀 체계가 있습니까?

\int_{[0, 1]^{n}} \prod d x_{i} f (\vec{x})

$\int_{[0,1]^n} \prod dx_i \;f(\vec{x})$

경우 및 I 브레이크 100 개의 세그먼트로, 우리가 까지 추가 포인트. 더 똑똑한 방법이 있어야합니다. $n = 10$ $[0,1]$ $10^{20}$

실제로 통합하려는 기능 은 Unitary 그룹 의 Haar 측정 입니다.

\int_{U (n)} f (A) d A = \frac{1}{n!} \int_{[0, 2 π]^{n}} \prod_{j < k} | e^{i θ_{j}} - e^{i θ_{k}} |^{2} \cdot f (θ_{1}, \dots, θ_{n}) \frac{d θ_{1}}{2 π} \dots \frac{d θ_{n}}{2 π}

$\int_{U(n)} f(A) \ dA = \frac{1}{n!} \int_{[0,2\pi]^n} \prod_{j<k} \big|e^{i \theta_j} - e^{i \theta_k}\big|^2 \cdot f(\theta_1, \ldots, \theta_n) \ \frac{d \theta_1}{2\pi} \ \cdots \ \frac{d \theta_n}{2\pi}$

numerical-analysis fourier-analysis

— 존 망구
소스

치수가 너무 크지 않으면 적분에 대한 희소 구적법을 고려할 수도 있습니다.

— Paul

@Paul이 주제에 대한 답변을 더 자세히 설명해 주시겠습니까? 그럴거야 아마 최대 - 투표

— 존 mangual

답변:

많은 변수와 통합하는 경우 일반적으로 Monte Carlo 방법이 적합합니다. 오류는 로 줄어 듭니다. 여기서 N은 선택한 등분 포 점의 수입니다. 물론 이것은 고차 수 방법이 존재하는 저 차원 (1D 및 2D) 공간에는 적합하지 않습니다. 그러나 이러한 결정 론적 방법의 대부분은 더 높은 차원에서 많은 수의 점을 취합니다. 예를 들어 1 차 1D 체계는 2D에서 이고 3D에서 입니다. Monte Carlo 방법의 장점은 오차 수렴이 공간 차원과 무관하다는 것입니다. 공간이 1D인지 100D인지에 관계없이 입니다. $O (\sqrt{N})$ $O(\sqrt{N})$ $O(N^{\frac{1}{4}})$ $O (\sqrt{N})$

그러나 확률 적이므로 표준 편차와 오차 추정치를 찾기 위해 정해진 수의 점을 사용하여 여러 번 적분해야합니다.

— 고 드릭 시어
소스

통합의 경우, 예를 들어 Sobel 시퀀스를 사용하는 quasi-Monte-Carlo의 사용이 약간 더 좋습니다.

— Lutz Lehmann

아, 그렇습니다. (의사 난수에 대한) 등분 포 점을 명시했지만 두 점을 명시 적으로 구분하지 않았습니다.

— Godric Seer

@GodricSeer Sobol 시퀀스 는 고차원에서도 균일 한 간격의 메쉬를 만들 수 있습니다. 그가 같은 질문을하는 것 같습니다 : 매우 빠르게 . 회색 코드 와 불일치 가 문제인 것 같습니다.

\frac{1}{n} \sum f (x_{i}) \approx \int_{[0, 1]^{n}} f d x

$\frac{1}{n} \sum f(x_i) \approx \int_{[0,1]^n} f \ dx$

— john mangual

그렇습니다. Sobol 시퀀스는 포인트를 잘 분배 할 것입니다. quasi-Monte-Carlo는 문제를 해결하는 더 좋은 방법 중 하나입니다.

— Godric Seer

희소 격자 구적법은 더 높은 차원으로 통합하기위한 대체 방법입니다.

구적법은 특정 "최적의"지점에서 가중 함수 값 합계를 평가하는 데 의존합니다. 전통적인 구적법은 더 높은 차원의 텐서 제품 그리드 구성을 사용하므로 차원이 증가함에 따라 기하 급수적으로 증가하는 포인트에서 함수를 평가해야합니다.

격자 구적법 을 드문 하는 요령 은 작은 텐서 제품 격자의 하위 집합을 사용하여 (점근 적 의미에서) 동일한 순서 정확도를 얻을 수 있다는 것입니다. 당신이 선택한 희소 점은 결국 원하는 총 정도 까지의 모노마 일을 정확하게 통합하는 것입니다 . 치수가 증가함에 따라 계산 비용 절감 (텐서 제품 그리드와 비교)이 크게 증가합니다.

그러나이 방법에는 단점이 있습니다.

함수가 부드럽 지 않거나 다항식 함수에 의해 근사치가 아니면이 방법이 제대로 작동하지 않습니다.
희소 그리드 구적법의 정확도 순서는 텐서 곱 그리드와 동일 할 수 있지만, 상대 정확도는 훨씬 나빠질 수 있습니다. 희소 격자의 정확도 순서 앞에있는 상수가 매우 클 수 있기 때문입니다.
스파 스 그리드는 상대적으로 작은 치수에 적합합니다. 그러나 다른 방법 (monte carlo 또는 그 변형과 같은)을 사용하는 것이 더 나은 차원이 있습니다.

스파 스 그리드에 대한 자세한 내용은 Burkardt의 스파 스 그리드를 고차원으로 권장 합니다. 희소 격자를 생성하는 코드에 관심이 있다면 이러한 matlab 파일 을 고려할 수 있습니다 .

— 바울
소스