3 차 고유 값 문제에 대한 Jacobi-Davidson 방법 구현

큰 입방 고유 값 문제가 있습니다.

$$\left(\mathbf{A}_0 + \lambda\mathbf{A}_1 + \lambda^2\mathbf{A}_2 + \lambda^3\mathbf{A}_3\right)\mathbf{x} = 0.$$

선형 고유 값 문제로 변환 하여이 문제를 해결할 수는 있지만 시스템은 .$3^2$

$$\begin{bmatrix} -\mathbf{A}_0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} \mathbf{A}_1 & \mathbf{A}_2 & \mathbf{A}_3 \\ \mathbf{I} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix},$$

여기서 및 입니다. 3 차 고유 값 문제를 해결하기 위해 사용할 수있는 다른 기술은 무엇입니까? 나는 그것을 해결할 것이지만 구현을 찾지 못한 Jacobi-Davidson 버전이 있다고 들었습니다.$\mathbf{y} = \lambda\mathbf{x}$$\mathbf{z} = \lambda\mathbf{y}$

또한 ARPACK의 시프트 및 인버트 방법과 유사하게 특정 고유 값을 대상으로 지정하고 관련 고유 벡터를 찾을 수 있어야합니다.

ARPACK의 역방향 통신 프로토콜을 사용하면 $3n \times 3n$ 행렬 명시 적으로 : 계산하는 두 가지 함수를 제공하면됩니다.

$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} -A_0 x \\ y \\ z \end{array}\right]$ 과 $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} A_1 x + A_2 y + A_3 z \\ y \\ z \end{array}\right]$

(여전히 당신은 $3\times n$차원 벡터이지만 행렬에 대해서는 아무것도 지불하지 않습니다).

인버트 변환과 관련하여 계산을 수행하는 콜백을 사용하여 직접 구현할 수 있습니다. $x \mapsto M^{-1} x$ 대신에 $x \mapsto M x$ 계산 된 교체 $\lambda's$ 와 $\lambda^{-1}$. 계산하기$M^{-1}x$, 행렬을 미리 팩터 할 수 있습니다 $M$사전 팩토링 만 의미합니다. $A_0$(행렬 구조에 따라 LU, Cholesky 또는 스파 스 버전 사용). 전체 시프트 인버트 변환의 ​​경우 비슷한 것을 수행 할 수 있다고 생각합니다.