유한 요소 방법 대 확장 유한 요소 방법 (FEM 대 XFEM)

FEM과 XFEM의 주요 차이점은 무엇입니까? 우리는 언제 FEM의 XFEM을 사용해서는 안됩니까? 다시 말해, 새로운 문제를 만났을 때 어떤 문제를 사용하는지 어떻게 알 수 있습니까?

— 안티 DINH
소스

XFEM을 접한 대부분의 시간은 견고한 역학에서의 균열 전파 및 파단과 관련된 불연속성을 다루는 것이 었습니다. 그래도이 응용 프로그램 외부에서 사용되는 것을 보지 못했습니다.

— Paul

실제로 XFEM을 사용하여 해결하는 다른 분야도 여전히 많이 있습니다. 이것이 문제를 해결할 때마다이 방법을 인식하는 방법을 알아야하는 이유입니다.

— Anh-Thi DINH

답변:

유한 요소법 (Finite Element Method, FEM)은 실제로 FEM이지만 다른 척하지 않는 많은 다른 방법들과 방법들에 영감을 준 부모 방법입니다.

유한 요소 방법에서, "모양 함수"는 근사 공간을 제공하여 솔루션이 벡터로 표현 될 수 있도록 사용됩니다. 고전적인 FEM에서, 이러한 형상 함수는 다항식입니다.

XFEM (Extended Finite Element Method)에서는 다항식 함수 외에 솔루션을 근사화하기 위해 추가 "강화"함수가 사용됩니다. 이러한 농축 기능은 솔루션이 따르는 것으로 알려진 특성을 갖도록 선택됩니다.

가장 명백한 XFEM 농축 기능은 솔루션 구배의 특이점 (고체 역학 문제에 대한 응력의 특이점)을 나타 내기 위해 균열에서 날카로운 모서리에 도입 된 전력 함수입니다. XFEM은 다른 농축 기능 및 기타 솔루션 도메인 (특히 열전달)에 사용될 수 있지만, 이름은 파괴 분석과 동의어입니다.

다양한 방법들 (이 XFEM인가, 그렇지 않습니까? 등)의 구별은 까다 롭고 미묘하며 중요하지 않습니다.

어떤 용도로 사용하든 XFEM은 실용성이 거의 없습니다. 실제 유한 요소 코드, 특히 Abaqus에는 소수의 응용 프로그램이 있지만 널리 채택되지는 않았습니다.

거의 모든 실제적인 문제에 대해 고전적인 FEM이 사용됩니다. 대부분의 파단 해석 문제의 경우 기존 FEM은 여전히 크랙 팁 영역에서 적절한 메쉬 미세 조정 및 / 또는 p 미세 조정과 함께 사용될 수 있습니다. 덜 엄격한 다른 파괴 모델도 사용될 수 있습니다.

— 마이크
소스

이 (우수한) 답변에서 벗어나지 않고 재진입 코너에서 솔루션 구성 요소를 나타내는 단수 함수는 실제로 유형입니다.

r^{α}

$r^{\alpha}$ 어디

r

$r$ 코너까지의 거리입니다

0 < α < 1

$0<\alpha<1$ 변위 (솔루션)

- 1 < α < 0

$-1<\alpha<0$ 스트레스 (그 파생물).

— Wolfgang Bangerth

@WolfgangBangerth, 감사합니다! 나는 '파워 함수'라고 대답하기 위해 내 대답을 편집했습니다. 좀 더 명확한 그림을 그리기 위해 sqrt (r) (닫힌 균열의 경우)를 거의 사용했지만주의가 산만 해 질지 확실하지 않았습니다. 심각한 XFEM 구현에 대해 더 많은 세부 사항이 있습니다 (일부 연구했지만 그렇지 않은 것들).

— Mike

@ Mike : 관련성이 적은 또 다른 질문은 P1- 버블 FEM과 XFEM의 차이점은 무엇입니까? 보여 주실 수 있어요?

— Anh-Thi DINH

@PoBo, 유사성이 거의 없습니다. 두 방법 모두 메쉬를 변경하지 않고 모양 함수를 추가하는 것과 관련이 있으며 두 방법 모두 전체 FEM 제품군에 공통으로 동일한 기본 수학을 기반으로하지만 닮은 부분이 끝납니다.

— Mike

p- 버전 또는 P1- 버블 셰이프 함수 접근 방법을 잘 모르는 경우 다른 최상위 질문을 시도하거나 그 중 하나를 선택할 수 있습니다 (Szabo 및 Babuska는 전반적으로 매우 엄격하지만 p 버전을 다루는 다른 사람들보다 훨씬 적습니다.)

— Mike

두 마이크의 대답 과 제드의 하나는 응용 프로그램의 가장 중요한 영역은 도메인 내부의 표면을 가로 지르는 균열, 즉 변위 불연속이 3D 파괴 역학이라고 지적 아니라 XFEM / FEM의 이분법 제대로 설명합니다.

고전적인 FEM에서 균열은 다음 두 가지 이유로 모델링하기가 어렵습니다.

메쉬는 균열을 가로 질러 합쳐 져야합니다.보다 정확하게는 균열이 FE의 하위 영역 경계에 있어야합니다. 균열 은 유한 요소 내부에 놓일 수 없습니다 .
균열 선단의 단일 응력 장에서는 특수 요소 및 / 또는 메시 기법 (쿼터 포인트 요소, 포커스 메시)을 정확하게 모델링해야합니다.

파괴 역학의 공학적 관점에서 볼 때 두 가지 주요 유형의 문제가 있습니다.

응력 강도 계수 계산
피로 전파 또는 손상 공차 분석과 같은 균열 전파 분석

문제 고전 FEM의 첫 번째 유형에 적합한보다 더이며 표준 엔지니어링 도구. (다행히도 균열 팁 근처의 수치 오류에 민감하지 않은 응력 강도 요소를 평가하는 에너지 방법이 있기 때문입니다.)

균열 전파 분석은 완전히 다른 이야기입니다. 대부분의 경우 균열 경로를 미리 알지 못하므로 잦은 리 메싱이 필요합니다. XFEM의 주요 약속은 내부에 균열을 허용하는 고정 FEM은, 균열이 하위 도메인 사이의 경계에서뿐만 아니라 자신의 길을 절단 메쉬,하지만 내부 유한 요소 자체입니다.

XFEM은 비교적 새로운 기술이지만 여전히 표준 엔지니어링 툴이 아닙니다. OP 문제에 대한 나의 대답은 최소한 견고한 역학 및 엔지니어링 분석에서 XFEM은 균열 경로를 사전에 추정 할 수없는 복잡한 3D 형상에 대한 균열 및 손상 전파 분석에서 매우 좁고 전문화 된 응용 분야를 가지고 있다는 것 입니다.

그럼에도 불구하고 파단 역학은 엔지니어링에서 매우 중요한 분야라고 강조하겠습니다. 예를 들어 오늘날의 비행기는 유지 보수 간격 사이의 손상 및 균열 전파를 수치 적으로 예측할 수 있기 때문에 안전합니다. XFEM 또는 이와 유사한 새로운 기술은 가까운 장래에 중요한 도구가 될 것입니다.

— 스테파노 M
소스

골절 역학에서 XFEM의 중요성은 모두에게 잘 알려져 있지만, 여전히 다른 분야에서 고전적인 FEM 대신 XFEM을 사용해야합니까? 예를 들어, 생물막 성장에서, 기질에서 생물막의 계면은 시간에 따라 변한다. 경계는 변경 가능합니다 (이동 경계). 클래식 FEM을 사용한다면 매번 단계마다 메쉬를 생성해야합니다. 맞습니까? 특히 3D 경우에는 좋지 않습니다. 또는 농도 구배가 다른 2 단계 유체를 고려한다면 XFEM도 사용해야합니까?

— Anh-Thi DINH

순수한 라그랑지안 접근 방식 (빈번한 리 메싱으로 인해)으로 인해 어려운 자유 표면 또는 이동 경계가있는 많은 문제가 있습니다. XFEM은 도메인 내에서 불연속을 모델링하는 것에 관한 것입니다. 움직이는 경계를 나타 내기 위해 불연속을 사용하는 커플 링 절차를 알고 있지만 이러한 분야의 전문가는 아닙니다.

— Stefano M

덜 덜 관련된 또 다른 질문은 P1- 버블 FEM과 XFEM의 차이점은 무엇입니까? 보여 주실 수 있어요?

— Anh-Thi DINH

나는 새로운 질문을 여는 것이 좋습니다. 간단히 말하면 P1- 버블 / P1은 특정 유한 요소 (스톡스 방정식의 솔루션에 해당)이며 XFEM은보다 일반적인 개념으로, 불연속 모델링을위한 농축 함수 사용, Partition of Unity 접근법을 활용합니다.

— Stefano M

FEM은 XFEM의 하위 집합입니다. XFEM은 유한 요소 공간을 보강하여 불연속성 (예 : 골절) 문제를 처리하는 방법입니다. 고전적인 FEM을 사용하면 유사한 정확도를 얻으려면 일반적으로 복잡한 컨 포밍 메시 및 적응 적 다듬기가 필요합니다. XFEM은 단일 메시로이를 수행하여 기하학적 복잡성을 요소로 이동합니다 (XFEM은 특히 3D로 구현하기가 매우 복잡합니다). 한편, XFEM은 직접 솔버 또는 매우 특수한 멀티 그리드 방법 (예 : Gerstenberger and Tuminaro (2012) ) 을 필요로하는 매우 열악한 조건의 행렬을 생성합니다 .

— 제드 브라운
소스

메시에서 모양 함수로 복잡성을 옮기는 노력이 실제로 비용을 지불합니까? 둘 다 같은 방식으로 복잡해 보입니다.

— shuhalo

컴퓨터 과학에서 자주 발생하는 것처럼, 그것은 당신이 누구에게 물어보고 어떤 문제를 해결하고 있는지에 달려 있습니다. 많은 XFEM 실무자들은 요소 내 불연속에 적응 된 대신에 구적 구적법을 사용하여 펀트를합니다.

— Jed Brown