수레가없는 아이젠 슈타인 숫자 표현

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내가 사용해야하는 프로젝트가 차 필드 형태의 구체적 숫자를 $a + b \sqrt{-3}$ 와 $a,b \in \mathbb{Q}$ .

예를 들어 다음은 아이젠 슈타인 정수 의 소수입니다 .

세이지를 사용하고 싶지 않습니다. 통합 할 데이터 형식을 직접 작성하고 싶습니다 numpy. PARI는 유용하지만 Python과 호환되지 않습니다.

이 객체에 대한 추가는 매우 분명합니다. $(a_{1} + b_{1} \sqrt{- 3}) + (a_{2} + b_{2} \sqrt{- 3}) = (a_{1} + a_{2}) + (b_{1} + b_{2}) \sqrt{- 3}$ $(a_1 + b_1 \sqrt{-3}) + (a_2 + b_2 \sqrt{-3}) = (a_1 + a_2) + (b_1+b_2) \sqrt{-3}$
곱셈은 좀 더 섬세하지만 하드 코딩도 가능합니다 $(a_{1} + b_{1} \sqrt{- 3}) \times (a_{2} + b_{2} \sqrt{- 3}) = (a_{1} a_{2} - 3 b_{1} b_{2}) + (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) \sqrt{- 3}$ $(a_1 + b_1 \sqrt{-3}) \times (a_2 + b_2 \sqrt{-3}) = (a_1 a_2 - 3 b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)\sqrt{-3}$
내 데이터 유형은 나누기를 수용해야합니다. 간단히하기 위해 역수를 보자. $\frac{1}{a + b \sqrt{- 3}} = \frac{a - b \sqrt{- 3}}{a^{2} + 3 b^{2}}$ $\frac{1}{a + b \sqrt{-3}} = \frac{a - b \sqrt{-3}}{a^2 + 3b^2}$

이러한 연산을 인코딩하는 자연스러운 매트릭스 기반 방법이 있습니까? $\mathbb{C}$ 의 관점에서 쓰여질 수있다 $2 \times 2$ 행렬?

(\begin{array}{cc} a & b \\ - b & a \end{array})

$\left( \begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array}\right)$

어쩌면 위에서 설명한 세 가지 작업으로 작업을 트리플로 하드 코딩 할 것입니다. 어떤 아이디어?

linear-algebra precision

— 존 망구 알
소스

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에 대한 $a+b\sqrt{-3}$ 당신은 표현을 사용할 수 있습니다

(\begin{matrix} a & - 3 b \\ b & a \end{matrix})

$\begin{pmatrix}a&-3b\\b&a\end{pmatrix}$ 추가는 분명히 작동합니다. 곱셈을 위해, 당신은 확인할 수 있습니다

(\begin{matrix} a_{1} & - 3 b_{1} \\ b_{1} & a_{1} \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{2} & - 3 b_{2} \\ b_{2} & a_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} a_{2} - 3 b_{1} b_{2} & - 3 (a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2}) \\ a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2} & a_{1} a_{2} - 3 b_{1} b_{2} \end{matrix})

$\begin{pmatrix}a_1&-3b_1\\b_1&a_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_2&-3b_2\\b_2&a_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1a_2-3b_1b_2&-3(a_1b_2+b_1a_2)\\a_1b_2+b_1a_2&a_1a_2-3b_1b_2\end{pmatrix}$ 이는 표현을 보존하므로 고리 동형이됩니다.

행렬의 결정자를 취하는 것은 (제곱) 규범을 제공합니다 $a^2+3b^2$ 따라서 역수는 예상 한대로 역행렬에 해당합니다.

이미 triples 사용을 고려 했는데 정수와 공통 분모를 사용한다고 가정합니다. 이 접근법은 매트릭스 표현에도 유용 할 수 있습니다.

업데이트 : 매트릭스 표현에 대한 일반적인 방법은 컴패니언 매트릭스를 사용합니다 . 예를 들어, $a+b\omega$ 대신에 $\omega=\exp(\frac{2\pi\mathrm{i}}{3})$ 따라서 $\omega^2+\omega+1=0$ . 동반자 매트릭스 $\omega$ 이다 $\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}$ , 이것은 다음과 같은 모든 관련 링 작업에서 작동합니다 $\omega$ 그 자체. 물론이야, $1$ 로 표현 될 수있다 $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ ; 그러므로의 행렬 표현 $a+b\omega$ 이다

(\begin{matrix} a & - b \\ b & a - b \end{matrix})

$\begin{pmatrix}a&-b\\b&a-b\end{pmatrix}$ 이것이 고리 동형인지 확인하고 싶을 수도 있습니다. 또한, 이것은보기 쉽다. 곱셈의 경우 해당 공식은

\begin{aligned} (a_{1} + b_{1} ω) (a_{2} + b_{2} ω) & = (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) + (a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) ω \\ (\begin{matrix} a_{1} & - b_{1} \\ b_{1} & a_{1} - b_{1} \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{2} & - b_{2} \\ b_{2} & a_{2} - b_{2} \end{matrix}) & = (\begin{matrix} a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2} & - (a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) \\ a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2} - b_{1} b_{2} & a_{1} a_{2} - a_{1} b_{2} - b_{1} a_{2} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} (a_1+b_1\omega)(a_2+b_2\omega)&=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2-b_1b_2)\omega \\\begin{pmatrix}a_1&-b_1\\b_1&a_1-b_1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_2&-b_2\\b_2&a_2-b_2\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}a_1a_2-b_1b_2&-(a_1b_2+b_1a_2-b_1b_2)\\ a_1b_2+b_1a_2-b_1b_2&a_1a_2-a_1b_2-b_1a_2\end{pmatrix} \end{align}$

— 도토리
소스

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부동 소수점 오류가 발생할 수 있으므로 모든 것에 대해 정확한 합리적인 산술을 원한다고 추측합니다. $1/z$ 에 없다 $\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$ 설사 $z$ 입니다. 이를 위해 SymPy 패키지를 살펴볼 수 있습니다 . 합리적 데이터 유형을 직접 사용하지 않으면 직접 롤링 한 버전에 영감을 줄 수 있습니다. 그런 다음 선택한 합리적인 숫자 유형 위에 2 차 필드 유형을 작성할 수 있습니다.

필드의 요소를 어떻게 표현하든 "매직 메서드"를 사용하여 파이썬에서 연산자를 오버로드 할 수 있습니다 . 파이썬에서 자신의 숫자 유형을 만드는 것에 대한 이 SO 게시물 을 참조하십시오 .

산술 연산이 그렇게 복잡하지 않기 때문에 2 차 필드의 요소 표현을 합리적인 숫자의 2 x 2 행렬 또는 합리적인 숫자 쌍으로 코딩하는 작업이 훨씬 더 많을 것이라고 생각하지 않습니다. 그러나 두 번째 접근법이 더 빠를 것이라고 생각합니다.

— 다니엘 셰이프로
소스

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numpy가속 매트릭스 연산 의 실제 성능 과 사용자 정의 데이터 형식의 성능을 비교하는 것이 흥미로울 수 있습니다 . 승자가 무엇인지 확실하지 않습니다.

— ccorn

그렇습니다 .numpy는 C 측에서 많은 Cython + 수작업으로 최적화되어 작업 속도가 빨라졌습니다. 동일한 효과를 얻으려면 그 중 일부를 다시 실행해야합니다. 그럼에도 불구하고 기능이 최우선이되어야하며 나중에 속도에 대해 걱정할 수 있습니다.

— Daniel Shapero