Adams-Bashforth 알고리즘보다 Adams-Moulton을 사용하면 어떤 이점이 있습니까?

두 개의 공간 차원과 시간 계산으로 두 개의 결합 된 PDE 시스템을 해결하고 있습니다. 함수 평가는 비용이 많이 들기 때문에 다단계 방법을 사용하고 싶습니다 (Runge-Kutta 4-5를 사용하여 초기화).

5 개의 이전 함수 평가를 사용하는 Adams-Bashforth 방법의 전역 오류는 (이것은 아래 참조 된 Wikipedia 기사에서 경우 )이며 단계 당 하나의 함수 평가가 필요합니다. $O(h^5)$ $s=5$

반면에 Adams-Moulton 방법은 단계 당 두 가지 기능 평가가 필요합니다. 하나는 예측 단계이고 다른 하나는 교정 단계입니다. 다시 한번, 5 개의 함수 평가가 사용되면 전역 오류는 입니다. ( Wikipedia 기사에서 ) $O(h^5)$ $s=4$

그렇다면 Adams-Bashforth보다 Adams-Moulton을 사용하는 이유는 무엇입니까? 함수 평가 횟수의 두 배인 동일한 순서의 오류가 있습니다. 직관적으로 예측 자-수정 방법이 유리해야하지만 누군가 이것을 정량적으로 설명 할 수 있습니까?

참조 : http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_multistep_method#Adams.E2.80.93Bashforth_methods

— SimonSciComp
소스

이 질문은 잘못되었습니다 . 완전히 암시적인 방법 인 Adams-Moulton을 참조하지만 실제로 예측 자-수정 방법을 사용하여 논의합니다. 그들은 같은 것이 아니다 전혀 .

— David Ketcheson

@David 내가 참조하는 Adams-Moulton 방법 (Adams-Bashforth-Moulton이라고도 함)은 예측 자-수정 방법입니다. 예측 단계는 Adams-Bashforth를 사용하여 수행됩니다. 그런 다음 예측 결과를 Adams-Moulton 단계에서 사용하여이를 명시 적으로 만듭니다. 명확하지 않은 경우 더 자세히 설명해 드릴 수 있습니다.

— SimonSciComp

분명하다. 그러나 이것이 아담스-무턴이 의미하는 것은 아닙니다. 올바른 이름을 사용해야합니다.

— David Ketcheson

Adams-Moulton 방법이 훨씬 안정적입니다. 차이점을 배울 때 사용한 비유는 외삽 법과 보간법과 동일합니다. 보간은 수치 적으로 비교적 안전합니다. 점근선이나 다른 이상한 특징이 있으면 외삽이 날아갈 수 있습니다.

예를 들어, Ode를 해결

, $y'(t) = -y(t)$ $y(0) = 1$

3 번째 아담스 Bashforth 방법을 사용하여 실제로하게 더 시간 단계가 감소됨에 따라 불안정. 정정 단계를 추가하면 이러한 불안정성을 크게 피할 수 있습니다. 두 가지 방법에 대한 안정성 영역의 플롯이 여기에 표시됩니다.

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

$\lambda$ $h$ $\lambda$ $\lambda h$

— 고 드릭 시어
소스

λ

$\lambda$

h

$h$

@SimonSciComp 줄거리 아래에 더 많은 설명을 추가했습니다. 불분명 한 것이 있으면 알려주세요.

— Godric Seer 2016

λ h

$\lambda h$

ℜ (λ h) < 0

$\Re(\lambda h)<0$

λ

$\lambda$